11. Принцип взаимности
Линейные электрические цепи обладают принципом взаимности. Этот принцип можно сформулировать применительно к источнику ЭДС или тока. Сформулируем этот принцип применительно к источнику ЭДС.
На рис. 36 изображены две схемы электрической цепи, в каждой из которых выделены по две ветви qиp. В каждой схеме имеется только один источник ЭДС. На рис. 36, а источник ЭДС расположен в ветвиq, а на рис. 36, б аналогичный источник находится в ветви p. Оставшаяся часть схемы может иметь произвольную структуру, важно, что эта структура для обоих рисунков одинакова.
а)
б)
Рис. 36. Схемы с источником ЭДС в ветви q (а) и ветви p (б)
Принцип взаимности формулируется следующим образом.
В любой сколь угодно сложной линейной электрической цепи ток в ветви p, созданный ЭДСEq, находящейся в ветвиq(рис. 36 а) будет равен токуIqв ветвиq, созданному ЭДСEp = Eq, находящейся вp-й ветви (рис. 36 б).
Для доказательства принципа взаимности воспользуемся методом контурных токов, и выберем независимые контура так, чтобы ветви qиpявлялись внешними ветви (хордами). Тогда токи этих ветвей будут совпадать с контурными токами. С учетом этого из формулы (10) для схемы рис. 36 а получаем:
.
Аналогичным образом для схемы рис. 36 б имеем:
.
В этих двух выражениях Ep = Eq, Δpq = Δqp.Следовательно,Ip = Iq и принцип взаимности доказан.
Из последних двух соотношений имеем также:
и
.
Проводимость gpq = gqp называется взаимной или передаточной проводимостью ветвейqиp. Взаимная проводимость двух ветвей определяется как отношение тока одной ветви к ЭДС другой ветви.
Если в последних двух соотношениях рассматривать ток и ЭДС применительно к одной ветви qилиp, то получим:
или
.
Проводимости gqq иgpp называются входными проводимостями ветвейqиp. Входная проводимость ветви представляет собой отношение тока ветви, содержащей единственный в схеме источник ЭДС, к величине ЭДС.
Величина, обратная входной проводимости, называется входным сопротивлением ветви:
или
.
Аналогичным образом взаимное сопротивление двух ветвей определится как
или
.
12. Принцип компенсации
Принцип компенсации формулируется следующим образом.
Токи в электрической цепи не изменятся, если ветвь (или часть ветви) с сопротивлением Rи токомIзаменить ЭДС E, равной по величине падению напряжения в данной ветвиRIи направленной навстречу току этой ветви.
Принцип компенсации иллюстрируется схемами, представленными на рис. 37а, б. Эти же схемы можно использовать для доказательства принципа компенсации.
а) б)
Рис. 37. К принципу компенсации: а) исходная схема; б) схема замещения
На рис. 37а имеем одноконтурную схему с одним источником ЭДС и двумя сопротивлениями. Для этой схемы справедливо следующее уравнение второго закона Кирхгофа:
.
Это линейное алгебраическое уравнение. Любое его слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, заменив знак на противоположный. Перенесем в правую часть R2I. В правой части наряду с ЭДСE1 появится еще одно слагаемое, которое можно рассматривать как дополнительнуюЭДС E2 = – R2I:
.
Последнему уравнению соответствует схема рис. 37б, иллюстрирующая принцип компенсации.
Подобную операцию по переносу слагаемых из левой части уравнения второго закона Кирхгофа в правую можно осуществить и для разветвленной цепи, поэтому принцип компенсации применим и к разветвленным электрическим цепям.
Следует отметить, что ЭДС источника, компенсирующего собой напряжение на участке цепи, определяется для конкретного тока участка. Если ток рассматриваемого участка цепи изменился вследствие изменения параметров остальной части цепи, то изменится и ЭДС компенсирующего источника. Поэтому такой источник является зависимым.