- •Предел числовой последовательности.
- •Непосредственное применение определения предела последовательности.
- •Различные приёмы вычисления предела последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Предел функции.
- •Вычисление предела функции, теоремы о пределах.
- •Вычисление предела функции, замечательные пределы.
- •Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя.
- •Формула Тейлора, применение к вычислению предела функции.
- •Разложение функций по формуле Тейлора.
- •Применение к вычислению пределов.
- •Ответы.
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Ответы. |
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1. |
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1. |
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1. |
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21. |
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2. |
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3. |
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20. |
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5. |
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21. |
1. |
22. |
2. |
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23. |
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1. |
24. |
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3. |
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27. |
2. |
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28. |
1. |
29. |
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1. |
30. |
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1. |
31. |
1. |
32. |
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2 |
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3 |
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0. |
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33. |
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0. |
34. |
1. |
35. |
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2. |
36. |
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1. |
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37. |
1. |
38. |
3. |
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2 |
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2 |
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5 |
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39. |
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1. |
40. |
51. |
41. |
2. |
42. |
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2. |
43. |
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3. |
44. |
49. 45. |
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3. |
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46. |
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1. |
47. |
1. |
48. |
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1. |
49. |
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1. |
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50. |
0. |
51. |
0. |
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2 |
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52. |
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0. |
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53. |
2. |
54. |
0. |
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55. |
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0. |
56. |
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0. |
57. |
1. |
58. |
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4 |
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0. |
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59. |
0. |
60. |
1. |
61. |
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e 2. 62. |
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e 2. |
63. |
1. |
64. |
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e |
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1. |
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65. |
1. |
72. |
1. |
73. |
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21. |
74. |
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-1. |
75. |
21. |
76. |
|||||||||||||||||||
1. |
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77. |
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54. |
78. |
1. |
79. |
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21. 80. |
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31. |
81. |
11. |
82. |
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23. |
83. |
31. |
|
84. |
0. |
85. |
|
45. |
86. |
|
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32. |
87. |
23. |
88. |
||||||||||||||||||||||
1. |
89. |
31. |
90. |
16. |
|
|
|
91. |
|
67. |
|
92. |
|
714 . |
93. |
365 . |
||||||||||||||||||||||
94. |
|
|
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31. 95. |
61. |
96. |
35. |
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97. |
0. |
98. |
|
-1. |
99. |
5. |
|||||||||||||||||||||
100. |
|
21. |
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101. |
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. |
102. |
|
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2 . 103. |
|
4 . |
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104. |
-6. |
105. |
||||||||||||||||||||
3 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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|||||||||||
|
2p |
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. 106. |
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. |
107. |
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. |
108. |
|
2. |
109. |
. |
110. |
|||||||||||||||||
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10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
. |
|
111. |
2. |
112. |
|
21.p |
|
113. |
0. |
|
114. |
2. |
115. |
0. |
||||||||||||||||||||||
12 |
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0. |
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0. |
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. |
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21. 120. |
-2. |
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||||||||||||||||||||
116. |
|
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117. |
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118. |
|
|
3 |
119. |
|
121. |
|||||||||||||||||||||||||
|
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6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
122. |
0. |
|
123. |
-3. |
|
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124. |
cos 1. |
|
|
125. |
24 cos 1. |
||||||||||||||||||||||
126. |
|
0. |
|
127. |
|
|
|
0. |
128. |
1. |
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|
129. |
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1 |
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. |
130. |
1. |
131. |
||||||||||||||||
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2 |
1 |
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cos |
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8 |
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||||||
21. |
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132. |
1 |
. |
133. |
|
21. |
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|
134. |
0. |
|
135. |
51. |
136. |
0. |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
137. |
|
0. |
|
138. |
|
|
35. |
139. |
|
|
51. |
|
140. |
|
|
1 |
. 141. |
38. |
142. |
|||||||||||||||||||
|
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10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
41. |
|
143. |
|
1 |
. |
|
144. |
0. |
|
145. |
|
32. |
|
146. |
|
5. |
147. |
2. |
||||||||||||||||||||
|
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12 |
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11 |
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11 |
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3 |
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3 |
62
148. |
|
|
38. |
|
149. |
|
|
4 |
. |
150. |
57. |
|
|
151. |
|
2. |
152. |
|
|
ln 6 |
. 153. |
||||||||||||||||||
65 |
|
|
|
ln 15 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln 20. |
154. |
-4. |
|
|
155. |
2 ln 2. |
156. |
|
|
|
|
-20e. |
|
157. |
|
ln 5. |
||||||||||||||||||||||
|
ln 18 |
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|||
158. |
|
|
earctg 1. |
159. |
2e. |
160. |
|
|
-e. |
161. |
50. |
|
162. 35. |
||||||||||||||||||||||||||
163. |
|
|
3 . |
164. |
|
|
|
log3 2. |
165. |
2 . 166. |
|
2 . 167. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
. |
|
168.2 |
|
|
4 . 169. |
|
1 |
. |
170. |
|
|
|
1 |
. 171. 2 ln 2. |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
12 |
e2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
172. |
|
|
e 4 . |
173. |
|
|
21ln 3. |
174. |
|
|
2 |
. |
|
|
|
175. |
|
16 ln 2. |
176. |
||||||||||||||||||||
|
27 |
ln 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 . |
177. |
0. |
|
178. |
8 . 179. |
5 cos2 2. |
180. |
|
1. |
181. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
6 ln 2 |
|
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2 |
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5 |
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1 |
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|
|
||||||
|
p |
|
. |
182. |
5. |
|
|
183. |
2 |
|
|
. |
|
184. |
2 |
|
|
ln 2 + |
2. |
185. |
0. |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
186. |
|
|
ln |
39 |
. |
187. |
|
|
5 ln 5. |
188. |
35 ln 3. |
189. |
32. |
190. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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1 |
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1 |
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1 |
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|
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|
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1 |
3 |
|
0. 191. |
|
|
|
4p |
|
. |
192. |
2 ln 2. |
|
193. |
|
|
|
|
. |
194. |
|
2 ln |
2. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
52 ln 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
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195.0. 196. 12 2. 197. p2+11 . 198. e 2. 199. e 3.
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1 |
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10 |
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7 |
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||||
200. |
|
e10. |
201. |
e5. |
202. |
|
|
e4 |
. |
203. |
|
e . |
204. e |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
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1 |
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5 |
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1 |
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5 |
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||||||
205. |
e 2 . 206. |
e 2 |
. |
|
207. |
e2 . |
208. |
e |
8 . 209. |
e |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
210. |
p |
|
. |
211. |
274 . |
212. |
|
|
253 e. 213. |
e 2. 214. |
p |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
216. |
e. |
217. |
e. |
218. |
|
|
|
e2. |
219. |
|
|
|
1 |
. |
220. |
p |
|
|
. |
221. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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64 |
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|
|
|
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||||
27. |
222. |
e. |
223. |
|
|
|
e4. |
224. |
|
|
35 |
. 225. |
e4 . |
226. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
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|
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2 |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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61. |
227. |
0. |
228. |
|
|
|
5 |
|
. 229. |
|
-20. |
230. 21. |
231. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
24 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0. |
232. |
1. |
233. |
1. |
|
|
234. |
|
1. |
|
|
|
235. |
|
|
2. |
236. |
1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237. |
1. |
|
|
238. |
21. |
239. |
|
|
0. |
240. |
|
|
47. |
241. |
21. |
242. |
|||||||||||||||||||||||
1. |
243. |
|
lnln |
32. |
244. |
23. |
|
|
|
245. 21. |
246. |
|
21. |
247. |
21. |
||||||||||||||||||||||||
248. |
0. |
|
|
249. |
0. |
250. |
|
|
0. |
251. |
|
|
|
0. |
252. |
0. |
253. |
||||||||||||||||||||||
0. |
254. |
|
0. |
255. |
|
p |
|
. |
|
256. |
0. |
257. |
|
e 21 . |
258. |
0. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
259. |
1 |
|
|
260. |
e. |
261. |
|
|
|
31. 262. |
|
|
|
34. |
263. |
1. |
264. |
||||||||||||||||||||||
e2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0. |
265. |
1. |
266. |
1. |
|
|
267. |
|
1. |
|
|
|
268. |
|
|
0. |
269. |
1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
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|
2 |
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
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|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|||||||
270. |
1. |
|
|
271. |
0. |
272. |
|
|
1. |
273. |
|
|
|
x + |
|
+ o(x4). |
274. |
||||||||||||||||||||||
|
|
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2 |
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6 |
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x3 |
+ o(x4). 275. |
|
x + |
x3 |
+ o(x3). |
276. |
1 + x + |
x2 |
+ o(x2). |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
6 |
2! |
63
277. |
1 |
x2 |
|
x4 |
+ o(x3). |
278. |
x |
x2 |
+ |
|
|
x3 |
+ o(x3). |
279. |
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
96 |
2 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
x2 |
|
+ o(x2). |
280. |
|
1 + x + |
x2 |
+ |
x3 |
|
+ o(x3). |
281. |
||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x + |
x2 |
|
|
x3 |
+ o(x3). |
282. |
x + |
x2 |
|
x3 |
+ o(x3). |
283. |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
6 |
2 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x + |
x2 |
+ |
x3 |
+ o(x3). 284. |
|
41. |
285. 61. |
286. |
1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
287. |
32. |
|
288. |
|
|
|
|
|
1 |
|
ln 2. |
289. |
1. |
290. |
43. |
291. |
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
292. |
1. |
293. |
|
|
21. |
|
294. |
|
61. |
295. |
31. |
|
|
296. |
-21. |
297. |
||||||||||||||||||||||||||
61. |
|
298. |
|
|
|
|
|
|
31 ln 2. |
299. |
0. |
300. |
21e. 301. |
21. |
302. |
|||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
303. |
|
|
43 |
. |
|
|
304. |
118 . |
305. 194 . 306. |
11. |
307. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
180 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
. 308. 61. |
309. |
31. |
310. |
1. |
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12 |
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Предметный указатель
o функция, 51 Эквивалентные функции, 17 Формула Тейлора, 51
Первый замечательный предел, 16
Последовательность бесконечно большая, 4 расходящаяся, 4 сходящаяся, 4
Правило Лопиталя, 40
Предел функции, 15 слева, 15 справа, 16
последовательности, 4 Схема Горнера, 19 Соотношения эквивалентности,
17 Свойства o, 51
Второй замечательный предел, 16
Замечательный предел, 16
65
Список литературы
[1]Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука, 1977.
[2]Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кудасов, В.И. Чехов, М.М. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. М., Наука, 1984.
[3]Курош. А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.
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