3Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

predely_efimov_znamenski.pdf

Скачиваний:

821

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

462.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

x + 2 ln x

Теорема. 3.1 Если:

функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой окрестности точки a; (где a число или символ 1,) и

lim f(x) = lim g(x) = 0;

x!a x!a

в проколотой окрестности точки a производная g0(x) 6= 0;

существует конечный или бесконечный предел

lim f0(x) = K;

x!a g0(x)

то тогда

lim f(x) = K:

x!a g(x)

Теорема. 3.2 Если:

функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой окрестности точки a; (где a число или символ 1,) и

lim f(x) = lim g(x) = 1;

x!a x!a

в проколотой окрестности точки a производная g0(x) 6= 0;

существует конечный или бесконечный предел

lim f0(x) = K;

x!a g0(x)

то тогда

lim f(x) = K:

x!a g(x)

Приведём примеры вычисления пределов с использованием правила Лопиталя комбинируя его, где удобно, с заменами бесконечно малых на эквивалентные.

Пример. 3.1 Найти

lim ex 1 x:

x!0 x2

Решение.

Здесь замена ex 1 на эквивалентную бесконечно малую x (в сумме) да-

ёт в ответе 0, что неверно. Воспользуемся правилом Лопиталя (случай

неопределённости

lim

ex 1 x

= lim

(ex 1 x)0

= lim

ex 1

= lim

x!0

(x2)0

x!0

2x 2

lim ex 1

При вычислении x!0

вместо замены

на

(в частном, что до-

пустимо) можно ещё раз применить правило Лопиталя (неопределённость

00):

lim

ex 1

= lim

(ex 1)0

= lim

(2x)0

x 0

0 2

Пример. 3.2 Найти

lim

sin(1 cos 2x) sin 2x2

x!0

sin4 x

Решение.

Замена 1 cos 2x на 2x2 ведёт к неверному ответу (нулю), можно использовать sin4 x x4; x ! 0 для упрощений перед применением правила Лопиталя. Получаем:

lim

sin(1 cos 2x) sin 2x2

x!0

sin4 x

2 sin 1 cos 2x 2x2 cos 1 cos 2x+2x2

1 cos 2x 2x

= lim

x!0

1 cos 2x 2x2

(Использовано:

sin 1 cos 2x 2x2

1 cos 2x 2x2 ; x

(так как

0; x

) и

cos 1 cos 2x+2x

)

Теперь опять нельзя заменить (в сумме) 1 cos 2x на 2x2; применим необходимое число раз правило Лопиталя (неопределённость 00):

lim

cos 2x

2x2

= lim

1 cos 2x 2x2

x!0

(x4)0

= lim

2 sin 2x 4x

= lim

(2 sin 2x 4x)0

x!0

4x3

x!0

(4x3)0

= lim

4 cos 2x 4

= lim

(4 cos 2x 4)0

12x2

x!0

(12x2)0

= lim

8 sin 2x

= lim

( 8 sin 2x)0

x!0

24x

x!0

(24x)0

= lim

16 cos 2x

Пример. 3.3 Найти

lim

ln(1 + x) ln(1 + arcsin x)

x!0

ln3(1 + x)

Решение.

ln(1 + x) ln(1 + arcsin x)

1+x

lim

= lim

1+arcsin x

x!0

ln3(1 + x)

x!0 ln3(1 + x)

1+x

x arcsin x

= lim

1+arcsin x

= lim

x!0

x!0 x3(1 + arcsin x)

x!0

(мы воспользовались соотношениями: ln(1+x) x; ln

1+x

1+arcsin x

(так как

1+x

! 1;

x ! 0);

1 + arcsin x 1;

x ! 0).

1+arcsin x

Далее замена (в сумме) arcsin x на x ошибочна. Воспользуемся правилом

Лопиталя (неопределённость 0):

x arcsin x

(x arcsin x)0

lim

= lim

1 x2

x!0

(x3)0

x!0

3x2

= lim

21x2

1 x2

= lim

x 0

0 p

1 x

6 1 x

(учтено: p1 x2 1 12x2; x ! 0).

Пример. 3.4 Найти

x!0	1 + ln(1 + 2x)	1

lim	1 + x + ln(1 + x)		x2

Решение.

x!0		1 + ln(1 + 2x)
lim		1 + x + ln(1 + x)
lim


	1					1+x+ln(1+x)
x		2		1	ln	1+x+ln(1+x)
x			= lim e	x2	ln	1+ln(1+2x)	=

x!0

= ex!0 x2

1+ln(1+2x)

= ex!0 x2

1+ln(1+2x)

lim

1+x+ln(1+x)

lim

1+x+ln(1+x)

lim

x+ln(1+x) ln(1+2x)

lim

x+ln(1+x) ln(1+2x)

= ex!0

x2(1+ln(1+2x))

= ex!0

(учтено ln(1 + 2x) 1; x ! 0). Замена слагаемых ln(1 + x) и ln(1 + 2x) на x и 2x приводит к неверному ответу; применим правило Лопиталя

(неопределённость 0):

x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)

1 +

lim

= lim

1+x

1+2x

x!0

lim

x(3 + 2x)

= lim

3 + 2x

2x(1 + x)(1 + 2x)

2(1 + x)(1 + 2x)

x!0

1 + ln(1 + 2x)

= e :

lim

1 + x + ln(1 + x)

Пример. 3.5 Найти

1 + ln(1 + x)

lim

1 + tg x

x!0

Решение.

1 + ln(1 + x)

1+ln(1+x)

lim

= lim e

1+tg x

1 + tg x

x!0

= ex!0 x2

1+tg x

= ex!0

x2(1+tg x)

lim

1+ln(1+x)

lim

ln(1+x) tg x

lim

ln(1+x) tg x

= ex!0

(учтено 1 + tg x 1; x ! 0). Замена (в сумме) ln(1 + x) и tg x на x

ошибочна. Применим правило Лопиталя (неопределённость 00):

ln(1 + x) tg x

lim

= lim

1+x

cos2 x

x!0

= lim

cos2 x 1 x

= lim

sin2 x x

x!0

2x(1 + x) cos2 x

x!0

lim

sin2 x

lim

= lim

x 0

(Здесь использовано sin x x; (1 + x) cos2 x 1; x ! 0). Окончательно

lim	1 + ln(1 + x)	x2	= e	1	:
				2
	1 + tg x
x!0

Пример. 3.6 Найти

lim x (ln(x + 2 ln x) ln(x + ln x)) :

x!+1

Решение.

x +

px (ln(x + 2 ln x)

ln(x + ln x)) =

lim

! 1

x + 2 ln x

1 + 2lnxx

lim

x + ln x

1 +

ln x

x!+1

Покажем, что

lim

ln x

= 0; используя правило Лопиталя (случай неопре-

делённости 11).

x!+1

lim

ln x

lim

(ln x)0

lim

= 0:

x +

! 1

Значит

1+ 2ln x

x ! 1; x ! +1

1 + lnxx

	x + 2 ln x x + 2 ln x			ln x
ln			1 =		:
	x + ln x	x + ln x		x + ln x

Тогда

	p		ln x
lim		x		=

x!+1 x + ln x

поскольку (применяем правило Лопиталя, неопределённость 11)

ln x

(ln x)0

lim

= 0:

x!+1 px

x!+1

(px)0

x!+1

x!+1 px

lim

x!+1

Замечание. 3.1 Можно (вместо обоснований каждый раз) пользоваться соотношением

ln x

x" = 0; " > 0;

предварительно доказав его с помощью правила Лопиталя. Оно означает: при x ! +1 функция y = ln x растёт “медленнее” степенной y = x"; " > 0:

Из него следует

lim

ln x

= 0; " > 0:

x!+1

Пример. 3.7 Найти

lim

2x+1 (ln(5 + x + 2x)

ln(x + 2x)) :

Решение.

lim

2x+1 (ln(5 + x + 2x)

ln(x + 2x)) =

5 + x + 2x

+ 1

x+1

lim

x + 2x

+ 1

x!+1

По правилу Лопиталя (неопределённость 11)

lim

(x)0

= lim

= 0:

(2x)0

x!+1

2x ln 2

Следовательно,

5 + x + 2x

+ 1

! 1;

x + 2x

+ 1

5 + x + 2x

1 =

; x ! +1;

x + 2x

откуда:

lim

2x+1 ln

5 + x + 2x

lim

5 2x+1

= lim

= 10:

x!+1

x + 2x

x!+1 x + 2x

x!+1

+ 1

Замечание. 3.2 С помощью правила Лопиталя доказывается равенство

lim x" ; a > 1; " > 0:

x!+1 ax

Его интерпретация: при x ! +1 степенная функция y = x"; " > 0 растёт “медленнее” показательной y = ax; a > 1: Из него вытекает

lim n" ; a > 1; " > 0:

n!+1 an

Используя правило Лопиталя определить значения следующих выражений:

226.

lim

2 ln cos x + x2

227.

lim

2 ln cos x cos x

x!0

228.

lim

21 ln(1 + x2) 1 + cos x

x!0

229.

lim

sin 5x 5 sin x

x!0

x2 sin x

lim

cos x p

230.

lim

ln(1 + sin x) x

231.

1 x2

x ln(1 + x)

x!0

esin x 1 x

lim

ex p

232.

lim

233.

1 + 2x

sin2 x

x(ex 1)

x!0

234.

lim

ex + e x 2

235.

lim

x2(ex e x)

sin2 x

ex3+1 e

x!0

236.

lim

esin 2x esin x

237.

lim

1 cos 2x + tg2 x

tg x

x sin 3x

x!0

238.

lim

1 + sin x 1 + 2x

x!0

x sin x

239.

lim

1 + ln(1 + x)

1 + 2x

x!0

240.

lim

etg x 1 ln(1 + sin x)

x!0

tg2 x

241.

lim

earctg x 1 sin x

arctg2 x

x!0

lim

esin x p

ln(2x + x2)

242.

1 + 2x

243. lim

sin2 x

x!0

x!+1 ln(3x + x)

244.

lim

ln(x3 + ln x)

x!+1 ln(x2 + 2 ln x)

245.

lim

ln(1 + arctg x) sin x

x!0

ln2(1 + x)

246.

lim

sin x sin ln(1 + x)

ln(1 + x2)

247.	lim	sin (ex 1) sin x
			sin2 x
	x!0
248.	lim	3x 3arctgx		249.	lim

	x!0 p1 + x2 1				x!0
250.	lim	esin x earctg x		251.	lim
	x0		sin2 x		x!0

sin 2x sin 2sin x x arctg x

16sin x 2sin 4x

cos 5x cos x

252.

x!+1

253.

x!+0

lim

lim x

2xx

1 1

254.

lim

ln x

ex1=x 1

255. lim

x!0

256. lim

x!0

258. lim

x!0

260. lim

x!0

262. lim

x!0

	ex		1
			x2
	1 + x
		2x	1
				x3
cos
1		2x2

1 + sin 5x x2

1 + 5 sin x

		ex
	1 + ln(1 + x)
x2		1 cos x
2		1

257.

lim

ln(1 + x) + 1

x!0

x + 1

259.

x!0

1 + sin x

lim

sin2 x

x!0

261.

lim

263.

x!0

ex3 1

ln(1 + x3)

lim

264.

sin x sin sin x

x!0

lim

265.

lim

(ln x

ln sin x)

0 x2

266. lim 1 (ln (ex 1) ln x)

x!0 x

267. lim 1 (ln x ln ln(1 + x))

x!0 x

268.lim x (ln (3x + ex) ln (x + ex))

x!+1

269. lim 1 (arctg (ex 1) arctg x)

x!0 x2

270. lim 1 (arctg x arctg ln(1 + x))

x!0 x2

271. lim 1 (arctg x arctg arctg x)

x!0 x2

272. lim 1 (arctg x arctg sin x)

x!0 x3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151 Mб26Pravila_izdaniya_dokymentov.pdf
#
15.11.201973.22 Кб1Pravila_podgotovki_nauchnogo_doklada.doc
#
16.09.201971.68 Кб1pravo otveti 1-9.doc
#
10.11.201968.1 Кб2Pravovaya_statistika.doc
#
17.09.201985.5 Кб3pravo_voprosy_10-20.doc
#
13.02.2015462.4 Кб821predely_efimov_znamenski.pdf
#
03.08.2019142.85 Кб1Problemy_zarubezhnoy_filologii.doc
#
12.03.2016837.12 Кб10Professionalnye_eticheskie_predstavlenia_v_monografii.doc
#
20.09.201988.58 Кб3prognoz_i_ego_mesto.doc
#
13.02.2015155.65 Кб4Programma_konferentsii_23_10_2014.doc
#
13.02.2015180.67 Кб13progr_dm.pdf