Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
predely_efimov_znamenski.pdf
Скачиваний:
815
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
462.4 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿

А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Теория пределов.

(Учебное пособие)

Ростов–на–Дону

2010

В предлагаемом пособии излагаются и демонстрируются на подробно разобранных примерах основные приёмы вычисления пределов последовательностей и функций. Собрано более 300 задач, которые могут быть использованы в аудиторной и домашней работе, для контрольных работ и при составлении экзаменационных заданий. Весь представленный материал отражает опыт преподавания авторами курса высшей математики на факультете высоких технологий ЮФУ и предназначен для работы со студентами этого факультета.

2

Содержание

 

1

Предел числовой последовательности.

4

 

1.1

Непосредственное применение определения преде-

 

 

 

ла последовательности. . . . . . . . . . . . . . . .

5

 

1.2

Различные приёмы вычисления предела последова-

 

 

 

тельности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

 

1.3

Расходящиеся последовательности. . . . . . . . . .

14

2

Предел функции.

15

2.1Вычисление предела функции, теоремы о пределах. 18

2.2Вычисление предела функции, замечательные пре-

делы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

Раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя. 40

4

Формула Тейлора, применение к вычислению пре-

 

 

дела функции.

51

 

4.1

Разложение функций по формуле Тейлора. . . . .

52

 

4.2

Применение к вычислению пределов. . . . . . . . .

53

Ответы.

62

Предметный указатель

65

Список литературы.

66

3

1Предел числовой последовательности.

Определение. 1.1 Будем говорить, что последовательность fxng+n=11 имеет предел при n ! 1; равный a,

lim x

 

= a

обозначим n!1

n

 

если для любого " > 0 существует номер m такой, что для всех n > m выполняется jxn aj < "

(т.е. 8" > 0 9m > 0 : 8n > m jxn aj < ") :

Последовательности, которые имеют предел, будем называть сходящимися

(в противном случае расходящимися).

Определение. 1.2 Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Если существуют пределы

 

 

 

 

 

 

lim xn = a и

lim yn = b;

 

 

 

 

 

 

n!1

n!1

то справедливы следующие утверждения:

nlim (xn yn) = a b

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

nlim (xn yn) = a b

 

 

!1

xn

a

 

 

 

 

 

nlim

 

 

=

 

; если b 6= 0:

 

y

n

b

 

 

!1

 

 

 

 

 

Определение. 1.3 Будем говорить, что последовательность fxng+n=11 имеет бесконечный предел при n ! 1;

обозначим

lim x

n

=

1

n!1

 

если для любого E > 0 существует номер m такой, что для всех n > m выполняется jxnj > E

(т.е. 8E > 0 9m > 0 : 8n > m jxnj > E) :

Такие последовательности называются бесконечно большими.

4

1.1Непосредственное применение определения предела последовательности.

Пример. 1.1 Доказать

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

= 1:

 

 

 

 

 

 

n!1 n + 3

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

 

 

 

 

 

 

n + 3

 

n + 3

n + 3

 

 

 

 

n 1

 

1 =

 

 

4

 

 

=

4

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмём произвольное " > 0: Тогда

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

1

 

< "

 

 

 

 

 

 

n + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет выполнено, если

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ";

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 3

 

 

 

 

то есть при

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n >

 

3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

В качестве m возьмём натуральное число, удовлетворяющее условию m > 4" 3: Тогда для всех n > m выполняется

 

 

 

 

 

n + 3

 

< ":

 

 

n 1

1

 

 

 

 

 

 

 

Это означает

 

 

 

 

 

 

 

lim

n 1

= 1:

 

n!1 n + 3

 

Доказать следующие равенства:

 

1:

lim

1

= 0;

( > 0)

2:

lim

1

= 0;

(a > 1)

 

n

 

n!1 n

 

 

 

n!1 a

 

 

3:

lim

n

= 0;

( > 0; a > 1)

4:

lim

an

= 0;

(a > 1)

 

 

 

n!1 an

 

 

 

n!1 n!

 

 

5

 

ln n

 

1

5: lim

 

 

= 0; ( > 0)

6: lim qn = 1; (q > 0)

 

n!1 n

 

n!1

7: lim qn = 0; (jqj < 1)

n!1

1.2Различные приёмы вычисления предела последовательности.

Пример. 1.2 Найти

 

 

3n3 + n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n + 2n + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим

 

 

 

 

 

3n3 + n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в виде

 

3 +

1

 

+ 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn =

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 21

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как n1 ! 0;

1

! 0;

1

! 0 при n ! 1; то 3+

1

+2

1

! 3; 1+2n1 +3

1

!

n2

n3

n2

n3

n3

1: Значит

 

lim

3 +

1

 

+ 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim xn =

2

 

3

 

= 3:

 

 

 

 

 

 

lim

1 + 21

+ 3

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

!1

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Пример. 1.3 Найти

lim n + 7 ln n: n!1 5n + ln n

Решение.

Учитывая lnnn ! 0; при n ! 1 и представляя

n + 7 ln n xn = 5n + ln n

в виде

 

1 + 7ln n

 

xn =

 

n

;

5 +

ln n

 

 

n

 

 

 

 

6

находим 1 + 7lnnn ! 1; 5 +

Следовательно,

lim

n!1

Пример. 1.4 Найти

ln n

! 5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn =

lim

 

1 + 7lnnn

 

=

1

:

lim

 

5 + ln n

 

5

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

+ 2

:

 

 

 

 

 

 

 

4

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Воспользуемся соотношениями n2n2 ! 0; n2n4 ! 0; при n ! 1: Представив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

=

 

n2 + 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

4

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nn2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn =

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с учётом

n2

 

 

+ 1 ! 1;

n4

+ 2 ! 2 при n ! 1; получаем

2n

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim xn = n!1

n4

 

 

 

 

 

 

 

= 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

nn2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

n!1

 

2n + 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 1.5 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

4 +

 

 

+ 2 4

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 2n

 

 

p

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

4 +

 

 

 

+ 2 4

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 2n

 

p

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4 + n + 2 +

 

4 + n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

p

4n + n + 2

p

4n + n + 1

 

p

4n

+ n + 2

+ p

4n + n + 1

 

 

 

 

 

= nlim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

!1 p4

n

+ n + 2 + p4

n

+ n + 1

 

 

 

 

n

!1 q1 + 4nn + 241n + q1 + 4nn + 41n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1 n

4

 

!;

4

!

 

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

q

 

 

 

4

 

4

 

!

 

q

4 4

 

!

Так как

 

n

 

0;

 

 

1

 

0 при n

 

 

 

; то

1 +

n

 

+ 2

1

 

 

 

 

1;

 

1 +

n

+

1

 

 

 

n

n

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

n

n

 

при

! 1 следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

; n ! 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

+ q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

n

+ 2

1

 

1 +

n

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4n

4n

4n

4n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 1.6 Найти

 

 

 

 

n!1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

 

5n + n6 + 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

n6

! 0; n ! 1; то неравенство

n6

 

 

< 1 верно для n; больших

5n

5n

 

 

некоторого n0: Тогда для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = n 5n + n6 + 1 = 5r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

5n +

51n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

верны оценки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 6 xn 6 5 3n ; n > n0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

! 30 = 1;

n ! 1; то отсюда следует nlim xn = 5:

 

 

 

 

 

 

Так как 3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 1.7 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 + n + 2

 

n2

+n+3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n2 + n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

n2 + n + 2

 

n2+n+3

 

 

 

n!1 n2 + n + 1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

1 + n2 + n + 1

n2+n+1

 

1 + n2 + n + 1

2

 

 

 

 

lim

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

 

1 + n2 + n + 1

n2

+n+1

 

 

xn =

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то последовательность fxng является подпоследовательностью

8

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

значит xn ! e;

 

 

n ! 1: Так как очевидно,

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 1; n ! 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 + n + 1

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 + n + 2

 

n2+n+3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n2

+ n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 1.8 Найти

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e:

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n+n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 6

1 +

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

2n+n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 2n

+ n + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

n

+n+5

 

 

 

1 +

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

n

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

1 + 2n + n + 5n

5

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

!1 1 +

 

2n + n + 5

2 +n+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 + 2n + n + 5

2n

+n+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим, что последовательность fxng есть подпоследовательность

9

n

1

 

 

 

 

 

и, следовательно xn ! e; n ! 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку, очевидно, 1 +

1

 

 

 

! 1; n

! 1; то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

1 + 2n + n + 5n

5

 

= 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2 +n+5

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n + n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 1.9 Найти

 

 

 

 

 

 

+ p9n + n2

 

+ 2 + + p9n + n2

+ n

n!1 p9n + n2 + 1

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

xn =

p

 

 

 

 

 

+

p

 

 

 

+

+

p

 

 

 

 

 

 

 

;

9n + n2 + 1

 

9n + n2 + 2

9n + n2 + n

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

6 xn 6

p

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9n + n2 + 1

 

9n + n2 + 1

r1 +

n2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9n

9n

Так как

 

n

 

 

 

n2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 1; то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 0;

 

! 0;

 

 

 

! 0; n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

9n

 

9n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

p ! 0; n ! 1:

9n + n2 + 1

С другой стороны, очевидно,

1

p ! 0; n ! 1;

9n + n2 + 1

значит xn ! 0; n ! 1:

Вычислить предел последовательности:

10

8:

lim

n5 + n2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

9:

lim

 

n3 2

 

 

 

 

 

 

n6 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n4 + 2n + 1

10:

lim

4n4 + 2n3 + 10

 

 

11:

lim

n3 2n + 3

 

 

 

2n5 + 2n2

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

n!1 n4 7n3 + 2

12:

lim

 

n3 + 1

 

 

 

 

 

 

13:

lim

n5 + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n2 + 2n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n4 + 2n

14:

lim

2n8 + n3 4

 

 

 

 

15:

lim

n3 + n2 3

 

 

 

3n6 + n3 + 5

 

 

(n + 1)2

 

n!1

 

 

 

 

n!1

16:

lim

3n2 + 2n

 

 

 

 

 

 

17:

lim

n2 + 2n 2

 

 

6n2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n2 n + 4

18:

lim

4n3 + 3n + 5

 

 

19:

lim

3n3 + n + 1

 

2n3 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n3 n2 + 7

20:

lim

5n4 + n2 1

 

 

 

21:

lim

n5 + n4 + 8n

2n4 n3 n

 

 

3n5 n3 + 5

 

 

n!1

 

 

 

 

n!1

22:

lim

 

10n10 1

 

 

23:

lim

n7 + 6n6 n

5n10 3n7 n3

 

 

4n7 2n4 + 1

 

n!1

 

 

 

 

n!1

24:

lim

(n + 1)3 (n 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 1)2 + (n 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25:

lim

(n + 2)2 (n 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1 p(n3 + 2)2

(n3

 

2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

(n2 + 1)2

 

 

(n2

 

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 p(n3 + 2)2 + (n3 2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8n3 + 3n2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)2

 

 

 

 

n

1

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3n + 1)2 + (4n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

+ 3n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 + 2n 4

28:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n+2

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 6

 

 

 

 

n + log3 9

 

 

p

 

 

 

 

 

 

+ ln(n3 + 1)

 

 

 

 

 

np

 

 

+ n ln n + 3

 

 

n3 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

30:

nlim

p4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31:

nlim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 5n

3n + 2

 

 

 

!1 3n n + ln

32:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n + n!

 

 

 

 

 

 

 

33:

lim

n3n + n7 + 2 ln n

 

3

n

+ (n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

(n + 1)! + 2

 

+ n

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 2 ln n)p3

 

 

 

 

 

 

 

n2 + 1

+ ln n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8n + 5

34:

nlim

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35:

nlim

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 1 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

+ 1 + ln(n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

+ 1) + ln n

 

 

 

 

 

 

lg(n

2

 

 

 

 

n2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36:

nlim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37:

nlim

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

ln(4 + n) + 1

 

 

 

!1

 

 

4n + 2n + 1

 

 

 

 

 

 

 

38:

lim

ln(n3 + n2 + 2)

39:

lim

 

 

 

 

ln(e2n e 2n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(n5 + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 p3 n3 + 1 + pn2 + 1

40:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 2)! + n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 3)! n2(n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!(2(n + 1)! + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1 n!(n + 2)! ((n + 1)!)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42:

2n + n2 + 1

 

 

 

 

 

 

43:

n3n + n3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

p

 

 

 

p

 

 

 

 

lim n

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44:

n3 + 9

n3

45:

n4 + 4

n4 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

pn + 4

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

pn2 + 1 n

12

 

 

p

 

 

 

p4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46:

lim

 

 

n4 + n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn + 1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47:

lim

 

 

 

 

 

 

n3 + n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

p3

n + 1

3

 

 

 

p6

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1 (

 

 

pn)

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48:

n4 + 1

n8 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4 n4 + 1 pn2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n6 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

49:

lim

n4 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 n3 + 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim (1 + ln n)(p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50:

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim (3 + p

 

 

)(p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51:

 

 

 

2n + 2

2n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

3n + 1

+ 3n + 2 + + 3n + n

 

 

 

 

n!1

 

 

 

52:

lim

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

+ 22

 

+ 23 + + 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53:

lim

1

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + n ln n

 

 

 

 

 

 

3 + 3 3

 

+ 2

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

n

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

n ln n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 3 2 n + 2 +

 

 

lim

(1 + p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 1

 

nlim n(p3

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56:

n2 + 3

n2 + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57:

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim n2 (p4 n2 + 1 p4 n2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]