Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
predely_efimov_znamenski.pdf
Скачиваний:
816
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
462.4 Кб
Скачать

2.2Вычисление предела функции, замечательные пределы.

Приведём образцы решений задач, указывая, где необходимо, на типичные ошибки.

Пример. 2.5 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

tg 2x 2 tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

x!0

p6 1 + x3 1

 

 

 

 

p6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая tg x x и

 

1 + x

 

1

 

 

 

x

 

при x

! 0; получаем:

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 tg x

 

 

 

 

 

tg 2x 2 tg x

 

= lim

 

 

 

2 tg x

 

 

 

lim

 

 

1 tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

p6 1 + x3 1

 

 

x!0

61x3

 

 

= lim

2 tg3 x

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

12x3

 

= lim

12

= 12:

 

tg2 x)

 

 

 

(1 tg2 x)

 

x!0 61x3(1

 

 

x!0 x3

 

x!0

1 tg2 x

Замена в числители слагаемых tg 2x и 2 tg x на эквивалентные 2x и

2x приводит к неправильному ответу.

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 2.6 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

2 ln(1 + x) ln(1 + 2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ln(1 + x) ln(1 + 2x)

 

 

 

ln

(1+x)2

 

 

 

lim

= lim

1+2x

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

sin2 x

 

 

x!0 sin2 x

 

 

 

 

 

(1+x)2

1

 

 

 

 

x2

 

 

1

 

 

= lim

 

1+2x

= lim

 

 

= lim

 

= 1:

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

x!0

 

x!0 x2(1 + 2x)

 

x!0

1 + 2x

Мы использовали

 

 

 

(1 + x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2x

1 + 2x

 

 

 

 

(поскольку (1+1+2xx)2 ! 1 при x ! 0) и sin x x при x ! 0: Приводит к ошибке замена слагаемых 2 ln(1 + x) и ln(1 + 2x) на эквивалентные 2x и 2x:

25

Пример. 2.7 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin(

 

1 + 2x 1) sin(

 

 

 

1 + 3x

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin(

 

1 + 2x 1) sin(

1 + 3x 1)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin

 

1+2x

3

1+3x

cos

 

1+2x+

3

 

1+3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

(1+2x)3

 

 

 

 

 

= lim

p

1 + 2x

 

 

p

1 + 3x

 

 

 

lim

 

 

1 + 3x

 

 

 

 

 

 

(1+3x)2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

= x!0 6x2(1 + 6x + 9x2)

 

 

 

 

 

 

1

 

1+6x+12x2+8x3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2(3 + 8x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

1+6x+9x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

3 + 8x

 

 

 

 

 

 

=

1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь использовано:

 

 

 

x!0 6(1 + 6x + 9x2)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x; sin

p

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

p

 

p3

 

 

sin x

 

 

1 + 2x

1 + 3x

 

 

 

1 + 2x

1 + 3x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s6

 

 

 

6

 

 

 

 

1 + 6x + 9x2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(1 + 3x)2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + 2x)3

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 + 6x + 12x2

+ 8x3

 

 

 

 

при x ! 0: Кроме того, в силу

pp

 

1 + 2x +

3

1 + 3x 2 ! 1

cos

2

и

p

3 1 + 3x ! 1; x ! 0

pp

 

1 + 2x +

3

1 + 3x 2 1

cos

2

26

и

p

3 1 + 3x 1; x ! 0:

pp

Типичная ошибка: замена 1 + 2x 1 и 3 1 + 3x 1 на эквивалентную x (даёт в ответе 0, что неверно).

Пример. 2.8 Найти

lim arcsin (x); если (x) ! 0; x ! a:

x!a (x)

Решение.

 

! a; то arcsin (x) sin(arcsin (x)) =

Поскольку arcsin (x)

! 0; x

(x); x ! a: Значит,

 

 

 

 

lim

arcsin (x)

= 1:

 

 

 

x!a

(x)

Аналогично доказывается arctg (x) (x); если (x) ! 0; x ! a:

Пример. 2.9 Найти

 

ex2 1

x!0

arctg e2x 1 arctg (2 (ex 1)) lim :

Решение.

arctg e2x 1 arctg (2 (ex 1)) ! 0; x ! 0; поэтому

 

arctg e2x 1

arctg (2 (ex 1))

 

tg arctg e2x

1 arctg (2 (ex 1)) =

 

= 1 + 2 (e2x 1) (ex 1) (e

 

1)

 

 

e2x 1

2 (ex 1)

x

2

(так2

как 1 + 2(e2x 1)(ex 1) ! 1; x ! 0). Значит, учитывая ex 1

x; ex 1 x2; x ! 0;

 

 

 

27

x!0

 

ex2

1

=

lim

arctg

e2x 1 arctg (2 (ex 1))

 

 

 

 

 

= lim

(ex 1)2

= lim

x2

= 1:

 

 

2

 

 

 

x!0

ex 1

x!0 x2

 

 

Замена в первоначальном выражении ex 1 и e2x 1 на эквивалентные

x и 2x приводит к ошибочному ответу.

 

 

Пример. 2.10 Найти

 

 

 

 

 

 

x!0

tg (

 

 

 

 

5x)

 

 

lim

tg p1 + 2x

 

:

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

Так как p

 

! ; 5x ! ;

x ! 0; то

 

 

1 + 2x

 

 

p p p

tg 1 + 2x = tg 1 + 2x 1 + 2x

и

tg ( 5x) = tg ( 5x ) 5x ; x ! 0:

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg p

 

 

 

= lim

p

 

 

 

 

 

 

 

21 2x

=

 

 

 

 

 

1 + 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1 + 2x

1

 

lim

 

1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x 1

 

 

 

 

x!0

tg ( 5x)

 

 

x!0

 

 

= x!0

x ln 5

ln 5

Здесь использовано: p

 

 

1 21 2x;

5x 1 x ln 5;

x ! 0: Нельзя

1

+ 2x

0; 5 0;

 

p

0

 

 

и tg ( 5x) на p

 

 

 

 

 

и 5x; так как p

 

 

заменить tg

 

 

1 + 2x

 

1 + 2x

1 + 2x

6!

x

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6!

x

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении пределов функций вида (f(x))g(x) при f(x) ! 1; g(x) ! 1; x ! a (неопределённость вида 11) оказывается полезным представле-

ние

(f(x))g(x) = eg(x) ln f(x):

28

При этом, если существует lim g(x) ln f(x); то

x!a

lim eg(x) ln f(x) = elim g(x) ln f(x)

x!a

x!a

(в виду непрерывности функции y = ex).

Пример. 2.11 Найти

Решение.

lim

x!0

lim

= ex!0

1

lim sin6 x + cos5 x arctg2 x :

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

ln(sin6 x+cos5 x)

 

 

sin

6

x + cos

5

x

 

 

= x!0

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg2 x

 

lim earctg2 x

 

 

 

 

 

 

ln(sin6 x+cos5 x)

 

 

 

lim sin

6

x+cos

5

x 1

 

lim sin

6

x+ lim cos

5

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

arctg2 x

= ex!0

 

 

 

x2

 

 

 

= ex!0

x2

x!0

x2

 

 

lim x6

+ lim

5(cos x 1)

 

 

lim

 

5 x22

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ex!0 x2

 

x!0

 

 

x2

 

 

 

= ex!0

 

x2

= e 2 :

 

 

 

1; x 0);

6 x

 

 

5 x

cos5 x

6 x

 

 

5 x

 

 

 

1);

1

 

 

cos x

6 x + cos5 x

 

arcsin x

x;

 

 

1

 

5(cos x

 

 

 

 

 

x2

; x 0:

Здесь ln

sin + cos

 

 

sin

 

 

+ cos

 

1 ( так как sin

 

2

 

!

!

 

 

6

 

 

 

5

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как пределы lim sin2 x

и lim cos

1;

как показано, существуют, теорема

 

x!0

x

 

 

x!0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о пределе суммы применена корректно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 2.12 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 5 + x

2

7

4 + x

2

 

3

x

 

 

1

 

:

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

Решение.

 

5 + x

2

 

 

7x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

1

 

lim e

1

ln((5+x2)7x (4+x2)3x) =

lim

 

 

4 +

x

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

sin x

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

= x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ln((5+x2)7x (4+x2)3x)

 

lim (5+x2)7x (4+x2)3x 1

 

 

 

 

 

 

= ex!0

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

= ex!0

 

 

 

 

x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

5

 

7x+x27x

 

4

 

3x

 

x23x

 

5+4

 

 

lim 5(7x 1) 4(3x 1)+x2(7x 3x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ex!0

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ex!0

 

 

 

 

x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

5(7x 1)

 

 

lim

4(3x 1)

+ lim x(7x

 

3x)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= ex!0

 

x

 

 

x!0

x

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

5x ln 7

 

 

lim

4x ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

= ex!0

 

 

 

x

 

x!0

 

x

= e5 ln 7 4 ln 3 =

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

Использованы соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 5 + x2 7x 4 + x2 3x 5 + x2 7x 4 + x2 3x 1

 

 

так как 5 + x2

7x 4 + x2

3x ! 1; x ! 0 ;

 

 

sin x x;

 

7x 1 x ln 7;

3x 1 x ln 3;

x ! 0

и теорема о пределе суммы (с учётом того что, как показано, пределы

lim

5(7x 1)

;

lim

4(3x 1)

;

lim x (7x

 

3x)

существуют).

x

!

0

x

 

x 0

x

 

x 0

 

 

 

 

 

!

 

 

!

 

 

 

Вычислить предел функции:

30

98:

lim

sin 2x 2 sin x

 

 

 

 

 

 

99:

 

x arctg2 x

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

100:

lim

tg x sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101:

 

x3

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin(2 p

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

102:

cos x

 

 

 

 

 

103:

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(p

 

 

 

 

p

 

 

 

)

 

 

 

cos 5x

104:

lim

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

p

 

 

sin2 x

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

105:

lim

sin( x2 + 1

 

 

 

5x 3)

 

x!1

 

 

 

sin(x 1)

 

 

106:

lim

 

arctg2x

 

 

 

 

 

107:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 sin(2 (x + 10))

 

 

108:

lim

cos(x + 5 /2)tgx

 

109:

 

 

 

 

 

x!0

 

arcsin 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

110:

lim

 

4 + x 2

 

 

 

 

 

 

111:

3arctgx

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

lim

3 sin 2x 2 sin 3x

 

 

 

 

x3

x!0

 

 

 

 

 

 

sin

p

 

 

 

lim

x

2 3x+3

 

 

 

 

 

x!1 sin(px 1)

lim

4x

x!0 tg( (2 + x))

lim

1 cos 2x

x!0 cos 7x cos 3x

 

p

 

 

lim

1 3x + 1

x!0 cos[ (x + 1)/2]

lim

sin x tg x

 

(x )

x!

Вычислить предел последовательности:

 

nlim (p

 

+ 2) sin(p

 

p

 

)

112:

 

n + 1

n

n

 

!1

 

 

 

 

 

 

p p

113: lim (3 + ln n) sin( n4 + 2n + 2 n4 + n + 1)

n!1

31

114:

lim (3 ln n + 2n+1) sin

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

115:

n!1

 

n cos

 

 

n + 2 cos n + 1

 

 

 

 

lim

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

116:

n!1

 

1

sin 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n

 

 

sin 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg 3

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

117:

lim n

n

arctg 3

n+2

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить предел функции:

 

 

 

 

 

 

 

118:

lim

2 sin x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

119:

lim

cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

x!6

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!4

120:

lim

arctg 2x 2 arctg x

 

121:

lim

arcsin 2x 2 arcsin x

 

x!0

 

 

 

 

 

arctg3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

arcsin3 x

 

 

cos8 x cos5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

cos5 x p

 

 

122:

lim

 

 

 

 

 

 

123:

1 + x2

 

x!0

 

 

arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

sin2 x

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

124:

lim

sin

 

 

1 + x2 sin

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125:

lim

sin cos 7x sin cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

arctg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

126:

lim

cos sin 9x cos sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin(1 + x4) sin p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

127:

1 + x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

128:

lim

tg(4 + x) tg(4 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

tg 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

tg p

 

tg(1 x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129:

1 + x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p

 

1

130:

lim

 

1 sin 2x

 

 

 

 

 

 

131:

x2 x + 1

 

 

 

 

 

 

 

( 4x)2

 

 

 

 

 

 

 

tg x

 

x! /4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

lim

p

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

132:

x2 3x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

133:

lim

 

 

 

 

4

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

8

+ 1)

 

 

 

 

x!1 ln(x

 

2 arctg ln(x

 

 

 

 

 

lim

arctg(1 + x4) arctg p

 

 

 

 

 

 

 

 

134:

1 + x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

arctg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

arctg(2 + x2) arctg p

 

 

 

 

 

 

 

 

135:

2 + x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

arctg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить предел последовательности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

np

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

136:

nlim ln(1 + n2 + 3n) ln

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

137:

lim (n2n + 3) ln

 

3 + 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить предел функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

138:

lim

ln(x2 7x + 7)

 

139:

 

lim

ln(2x2 3x + 2)

 

x!1 ln(x2 5x + 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

ln(3x2 x 1)

140:

lim

ln(x2 + 3x + 3)

 

141:

 

lim

ln(3x2 + 4x 19)

 

 

ln(5x2 4)

 

 

 

x! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

ln(x2 + 2x 7)

33

142:

lim

ln(x3 + 3x2 4x 41)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!3 ln(x3 2x2 3x + 1)

 

 

 

 

 

 

143:

lim

 

ln(x3 + 2x2 3x 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(x3 x2 5x + 3)

 

 

 

 

 

 

 

x! 2

 

 

 

 

 

 

 

144:

lim

ln(2x3 3x2 + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

ln(x3 + 4x 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

145:

lim

 

 

ln(3x3 4x 15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2 ln(x3 + x2 5x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

146:

lim

 

 

 

 

ln(x3 + x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 ln(x3 x2 + 2x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

147:

lim

tg(x4 x3 + x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

sin(2x3 3x + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148:

lim

 

tg(x4 + 2x2 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(x3 + 3x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

149:

lim

arcsin(2x4 5x3 + 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

 

 

ln(x5 15x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150:

lim

 

 

ln(x3 + 2x2 + 3x + 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! 2 arctg(x3 + 2x2 + x + 2)

 

 

 

 

 

 

151:

lim

 

ln(x3 + 2x2 + 3x + 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! 1 sin(x3 + 4x2 + 4x + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

2x+3x

 

 

 

 

ln

22x+5x

152:

lim

 

 

 

2

 

 

 

153:

lim

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3x+5x

 

 

 

 

32x+2x

 

x!0 ln

2

 

 

 

 

 

 

x!0 ln

2

 

 

 

154:

lim

ln(sin2 x + cos10 x)

 

155:

lim

2sin 5x 2sin 3x

 

 

x+1

 

 

x!0

 

 

 

ln(1 + x2)

 

 

 

x!0

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

x2+1

34

 

 

ecos 7x

ecos 3x

 

 

5

1

 

1

 

 

x!0

ln(1 + sin2 x)

x!1 x

2

 

5

 

 

 

 

156:

lim

 

 

157:

lim

 

x

 

1+x

158:

lim

earctg(1+x) earctg(1 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

159:

lim

e

 

 

1+sin 2x e

 

 

1+sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

ln(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

e

cos x

 

 

 

1+x2

160:

lim

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + x2)

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

162:

lim

sin[5(x + )]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

e3x 1

 

 

 

 

 

164:

lim

sin( 2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 sin( 3x)

 

 

 

 

 

 

lim

 

sin(2 cos3 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

166:

x!0 sin(2 p3 1 + x2)

168:

lim

 

sin (2 x )

 

x!1 ln (x + 1) ln 2

170:

lim

 

 

 

(2x 1)2

 

esin x e sin 3 x

 

x!1/2

 

172:

lim

sin 7x sin 3x

 

 

x!2

 

 

ex2 e4 2

 

 

 

 

 

161: lim

x!0

163: lim

x!0

165: lim

x!0

1 cos 10x

ex2 1

p(e x 1)

( 3 1 + x 1)

p sin(2 1 + x2)

ln cos x

167:

lim

ln(1 + sin2 2x)

 

 

 

 

 

x!0

1 + cos( ex)

169:

lim

 

ln sin 3x

 

 

 

 

 

 

 

x! /6 (6x )2

 

 

 

2

cos2 x

1

 

 

171:

lim

 

 

 

 

 

 

 

ln sin x

 

x! /2

173:

lim

 

 

2sin x 1

 

x!3 ln(x3 6x 8)

35

174:

lim

 

 

arcsin (x + 2)/2

 

 

 

175:

lim

2x 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

2

9

 

 

 

sin x

 

x! 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!4

 

3

2+x+x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

176:

 

lim

esin 2x etg2x

 

 

 

 

 

 

 

177:

lim

 

 

ln cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! /2

 

ln(2x/ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2 3sin 2x 1

178:

 

lim

 

ln(4x 1)

 

 

 

 

 

 

179:

xlim2

tg ex+2 ex2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x + tg 2

 

x

!

1/2 p

1 cos x 1

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

180:

 

lim

ln tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

181:

lim

ln (x arctg x + 2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! =4

cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 sin(p

3 + x

p3)

 

x! =2

 

 

ln sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

182:

 

lim

ln

 

cos3 x + sin5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 x + sin4 8 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg2(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

183:

lim

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

184:

lim

ln

22x+3

 

2x+4 + p

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln tg x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! =2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

185:

 

lim

ln

 

sin4 x + cos7 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

sin(

1 + 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

186:

lim

 

ln

32+x

23+x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

 

 

p

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

ln

x sin2 x + 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

187:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 arctg(2 + x)

 

 

arctg 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

ln(2 + x) ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

188:

lim

ln

cos 4 x + 3x+1

 

32x+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

189:

x!3

ln (x

1) ln (x

 

 

 

 

 

+ 1) + ln 2

 

lim

sin p2x2 3x 5 p1 + x

 

 

 

arctg cos 7x arctg cos x

 

 

 

 

190:

lim

 

 

 

 

 

ln(1 + sin 3x)

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

191:

lim

arctg

1 + x arctg 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

arctg (ex 1)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x2

 

 

192:

lim

arctg 2

 

 

arctg 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

193:

lim

arctg(2x + 3) arctg(x + 4)

 

 

 

 

x!1

 

 

 

arctg (2x 2)

 

 

194:

lim

ln (1 + 3x) ln (1 + 2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

p4 1 + 4x 1

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + cos x)

 

 

195:

lim

ln (1 + cos 5x) ln

 

 

 

x!0

 

 

 

ln(5 + x) ln 5

 

 

 

x!1

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln2 x

 

 

196:

lim

ln 1 +

 

 

 

 

cos 2 x

ln 2

 

 

 

 

ln (1 + sin x) ln (1 + cos x)

 

197:

lim

 

 

 

x! =4

 

 

 

 

 

 

 

 

ln tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

x

 

 

3x + 3

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x

 

5x + 5

 

2

sin(p

 

 

 

 

 

 

2

198:

lim

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1)

199:

lim

 

 

x!2

x

3

 

2x

2

+ x 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

201:

 

 

x

 

+ 2x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x! 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

3

 

 

2 + x + 3 arctg(x+2)

 

 

 

1

ln x

37

1

 

202: lim x3 + 3x + 3

 

 

arcsin(x2

+6x+5)

x! 1

203: lim

x!1

205: lim

x!0

207: lim

x!0

209: lim

x!1

211: lim

x!0

213: lim

x!1

215: lim

x!0

216: lim

x!0

217: lim

x!0

1

 

x2 7x + 7

 

 

cos 2x

204:

1

sin4 x + cos7 x tg2 x 206:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1 cos5 x

 

 

 

 

 

 

208:

 

+ sin8 x

x2

 

 

 

 

 

p + p3

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

210:

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

31+x 21+x x

212:

 

1 + pcos 3x!

1

 

 

 

214:

 

1 + p

cos 5x

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2p3

 

1 x

 

1 + x

1

2p1 + x2 p4 1 + x4 x2

p x ln(1 + x2) + 1 + 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x!1

x

2

9x + 9

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

1

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

lim

 

1 + x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x!0

x

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

4

 

p4 cos x arctg2 x

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

((2 + x)5x

 

3x)x1

 

 

 

 

x

!

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x!0

1 + sin 3x

x

 

1 + p1 + sin x

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

arctg2x

38

218:

x!0

2

 

 

+ ln tg

 

 

x + 4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

sin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

219:

x!1

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

2

5x

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

220:

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

lim

1 + 2sin 3x

 

 

 

 

2sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 5x sin x

221:

 

 

 

cos

2

x

 

+ 3

x

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg(x 1)

 

 

 

222:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ex + arctg2 x sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

e

 

+ e

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

223:

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

224:

lim ((5 + x)3x

 

(4 + x)2x)

 

 

sin x

x

!

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225:

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

lim

1 + esin 6 x

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x

1)

39

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]