Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

predely_efimov_znamenski.pdf

Скачиваний:

821

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

462.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

2.2Вычисление предела функции, замечательные пределы.

Приведём образцы решений задач, указывая, где необходимо, на типичные ошибки.

Пример. 2.5 Найти

lim

tg 2x 2 tg x

Решение.

x!0

p6 1 + x3 1

Учитывая tg x x и

1 + x

при x

! 0; получаем:

2 tg x

tg 2x 2 tg x

= lim

2 tg x

lim

1 tg2 x

x!0

p6 1 + x3 1

x!0

61x3

= lim

2 tg3 x

= lim

12x3

= lim

= 12:

tg2 x)

(1 tg2 x)

x!0 61x3(1

x!0 x3

x!0

1 tg2 x

Замена в числители слагаемых tg 2x и 2 tg x на эквивалентные 2x и

2x приводит к неправильному ответу.

Пример. 2.6 Найти

lim

2 ln(1 + x) ln(1 + 2x)

x!0

sin2 x

Решение.

2 ln(1 + x) ln(1 + 2x)

(1+x)2

lim

= lim

1+2x

x!0

sin2 x

x!0 sin2 x

(1+x)2

= lim

1+2x

= lim

= 1:

x!0

x!0 x2(1 + 2x)

x!0

1 + 2x

Мы использовали

(1 + x)2

1 + 2x

(поскольку (1+1+2xx)2 ! 1 при x ! 0) и sin x x при x ! 0: Приводит к ошибке замена слагаемых 2 ln(1 + x) и ln(1 + 2x) на эквивалентные 2x и 2x:

Пример. 2.7 Найти

lim

sin(

1 + 2x 1) sin(

1 + 3x

x!0

sin2 x

Решение.

lim

sin(

1 + 2x 1) sin(

1 + 3x 1)

x!0

sin2 x

2 sin

1+2x

1+3x

cos

1+2x+

1+3x 2

= lim

x!0

x 0

= x 0

(1+2x)3

= lim

1 + 2x

1 + 3x

lim

1 + 3x

(1+3x)2

x!0

= x!0 6x2(1 + 6x + 9x2)

1+6x+12x2+8x3

x2(3 + 8x)

1+6x+9x2

= lim

lim

= lim

3 + 8x

Здесь использовано:

x!0 6(1 + 6x + 9x2)

x; sin

sin x

1 + 2x

1 + 3x

1 + 2x

1 + 3x

;

1 + 6x + 9x2

(1 + 3x)2 1

(1 + 2x)3

1 1 + 6x + 12x2

+ 8x3

при x ! 0: Кроме того, в силу

	1 + 2x +	3	1 + 3x 2 ! 1
cos		2

3 1 + 3x ! 1; x ! 0

	1 + 2x +	3	1 + 3x 2 1
cos		2

3 1 + 3x 1; x ! 0:

Типичная ошибка: замена 1 + 2x 1 и 3 1 + 3x 1 на эквивалентную x (даёт в ответе 0, что неверно).

Пример. 2.8 Найти

lim arcsin (x); если (x) ! 0; x ! a:

x!a (x)

Решение.		! a; то arcsin (x) sin(arcsin (x)) =
Поскольку arcsin (x)	! 0; x
(x); x ! a: Значит,
	lim	arcsin (x)	= 1:

	x!a	(x)
Аналогично доказывается arctg (x) (x); если (x) ! 0; x ! a:
Пример. 2.9 Найти		ex2 1
x!0

arctg e2x 1 arctg (2 (ex 1)) lim :

Решение.

arctg e2x 1 arctg (2 (ex 1)) ! 0; x ! 0; поэтому

	arctg e2x 1		arctg (2 (ex 1))
	tg arctg e2x		1 arctg (2 (ex 1)) =
	= 1 + 2 (e2x 1) (ex 1) (e				1)
		e2x 1	2 (ex 1)	x	2
(так2	как 1 + 2(e2x 1)(ex 1) ! 1; x ! 0). Значит, учитывая ex 1
x; ex 1 x2; x ! 0;

x!0			ex2	1		=
lim	arctg	e2x 1 arctg (2 (ex 1))

	= lim		(ex 1)2	= lim	x2	= 1:
			2
	x!0		ex 1	x!0 x2

Замена в первоначальном выражении ex 1 и e2x 1 на эквивалентные

x и 2x приводит к ошибочному ответу.
Пример. 2.10 Найти
		x!0		tg (
		x!0		tg (	5x)
		lim	tg p1 + 2x			:
		lim				:
Решение.
Так как p		! ; 5x ! ;		x ! 0; то
Так как p	1 + 2x	! ; 5x ! ;		x ! 0; то

p p p

tg 1 + 2x = tg 1 + 2x 1 + 2x

tg ( 5x) = tg ( 5x ) 5x ; x ! 0:

Следовательно,

tg p

= lim

21 2x

1 + 2x

lim

1 + 2x

lim

5x 1

x!0

tg ( 5x)

x!0

= x!0

x ln 5

ln 5

Здесь использовано: p

1 21 2x;

5x 1 x ln 5;

x ! 0: Нельзя

+ 2x

0; 5 0;

и tg ( 5x) на p

и 5x; так как p

заменить tg

1 + 2x

При вычислении пределов функций вида (f(x))g(x) при f(x) ! 1; g(x) ! 1; x ! a (неопределённость вида 11) оказывается полезным представле-

ние

(f(x))g(x) = eg(x) ln f(x):

При этом, если существует lim g(x) ln f(x); то

x!a

lim eg(x) ln f(x) = elim g(x) ln f(x)

x!a

(в виду непрерывности функции y = ex).

Пример. 2.11 Найти

Решение.

lim

x!0

lim

= ex!0

lim sin6 x + cos5 x arctg2 x :

x!0

ln(sin6 x+cos5 x)

sin

x + cos

= x!0

arctg2 x

lim earctg2 x

ln(sin6 x+cos5 x)

lim sin

x+cos

x 1

lim sin

x+ lim cos

x 1

arctg2 x

= ex!0

x!0

lim x6

+ lim

5(cos x 1)

lim

5 x22

= ex!0 x2

x!0

= ex!0

= e 2 :

1; x 0);

6 x

5 x

cos5 x

6 x

5 x

1);

cos x

6 x + cos5 x

arcsin x

5(cos x

; x 0:

Здесь ln

sin + cos

sin

+ cos

1 ( так как sin

Так как пределы lim sin2 x

и lim cos

как показано, существуют, теорема

x!0

о пределе суммы применена корректно.

Пример. 2.12 Найти

x!0 5 + x

4 + x

lim

sin x

Решение.

5 + x

lim e

ln((5+x2)7x (4+x2)3x) =

lim

4 +

sin x

x!0

= x!0

lim

ln((5+x2)7x (4+x2)3x)

lim (5+x2)7x (4+x2)3x 1

= ex!0

sin x

= ex!0

lim

7x+x27x

x23x

5+4

lim 5(7x 1) 4(3x 1)+x2(7x 3x)

= ex!0

lim

5(7x 1)

lim

4(3x 1)

+ lim x(7x

3x)

= ex!0

x!0

lim

5x ln 7

lim

4x ln 3

= ex!0

x!0

= e5 ln 7 4 ln 3 =

Использованы соотношения

ln 5 + x2 7x 4 + x2 3x 5 + x2 7x 4 + x2 3x 1

так как 5 + x2

7x 4 + x2

3x ! 1; x ! 0 ;

sin x x;

7x 1 x ln 7;

3x 1 x ln 3;

x ! 0

и теорема о пределе суммы (с учётом того что, как показано, пределы

lim			5(7x 1)	;	lim	4(3x 1)	;	lim x (7x	3x)	существуют).
x	!	0	x		x 0	x		x 0		существуют).
	!				!			!

Вычислить предел функции:

98:

lim

sin 2x 2 sin x

99:

x arctg2 x

x!0

100:

lim

tg x sin x

101:

x!0

lim

sin(2 p

)

102:

cos x

103:

sin2 x

x!0

sin(p

)

cos 5x

104:

lim

cos x

x!0

sin2 x

105:

lim

sin( x2 + 1

5x 3)

x!1

sin(x 1)

106:

lim

arctg2x

107:

x!0 sin(2 (x + 10))

108:

lim

cos(x + 5 /2)tgx

109:

x!0

arcsin 2x2

110:

lim

4 + x 2

111:

3arctgx

x!0


lim	3 sin 2x 2 sin 3x
lim					x3
x!0					x3
		sin	p
lim		sin	p	x	2 3x+3
lim					2 3x+3

x!1 sin(px 1)

lim

x!0 tg( (2 + x))

	lim	1 cos 2x
	x!0 cos 7x cos 3x
		p
	lim	1 3x + 1
	x!0 cos[ (x + 1)/2]
	lim	sin x tg x
		(x )
	x!

Вычислить предел последовательности:

	nlim (p		+ 2) sin(p		p		)
112:				n + 1
		n				n
	!1

p p

113: lim (3 + ln n) sin( n4 + 2n + 2 n4 + n + 1)

n!1

114:

lim (3 ln n + 2n+1) sin

n!1

n2n + 1

115:

n!1

n cos

n + 2 cos n + 1

lim

116:

n!1

sin 2

lim n

sin 2n

n+1

arctg 3

117:

lim n

arctg 3

n+2

n!1

Вычислить предел функции:

118:

lim

2 sin x 1

119:

lim

cos 2x

x!6

x!4

120:

lim

arctg 2x 2 arctg x

121:

lim

arcsin 2x 2 arcsin x

x!0

arctg3 x

x!0

arcsin3 x

cos8 x cos5 x

lim

cos5 x p

122:

lim

123:

1 + x2

x!0

arctg x

x!0

sin2 x

124:

lim

sin

1 + x2 sin

1 x2

x!0

sin2 x

125:

lim

sin cos 7x sin cos x

x!0

arctg2 x

126:

lim

cos sin 9x cos sin x

x!0

sin x

lim

sin(1 + x4) sin p

127:

1 + x4

x!0

128:

lim

tg(4 + x) tg(4 x)

x!0

tg 4x

lim

tg p

tg(1 x2)

129:

1 + x4

x!0

tg2 x

lim

130:

lim

1 sin 2x

131:

x2 x + 1

( 4x)2

tg x

x! /4

x!1

lim

132:

x2 3x + 3

x!1

sin x

133:

lim

+ 1)

x!1 ln(x

2 arctg ln(x

lim

arctg(1 + x4) arctg p

134:

1 + x4

x!0

arctg2 x

lim

arctg(2 + x2) arctg p

135:

2 + x4

x!0

arctg2 x

Вычислить предел последовательности:

+ 1

136:

nlim ln(1 + n2 + 3n) ln

n + 2

137:

lim (n2n + 3) ln

3 + 2n

n!1

3 + n

Вычислить предел функции:

138:

lim

ln(x2 7x + 7)

139:

lim

ln(2x2 3x + 2)

x!1 ln(x2 5x + 5)

x!1

ln(3x2 x 1)

140:

lim

ln(x2 + 3x + 3)

141:

lim

ln(3x2 + 4x 19)

ln(5x2 4)

x! 1

x!2

ln(x2 + 2x 7)

142:

lim

ln(x3 + 3x2 4x 41)

x!3 ln(x3 2x2 3x + 1)

143:

lim

ln(x3 + 2x2 3x 5)

ln(x3 x2 5x + 3)

x! 2

144:

lim

ln(2x3 3x2 + 2)

x!1

ln(x3 + 4x 4)

145:

lim

ln(3x3 4x 15)

x!2 ln(x3 + x2 5x 1)

146:

lim

ln(x3 + x2 1)

x!1 ln(x3 x2 + 2x 1)

147:

lim

tg(x4 x3 + x 1)

x!1

sin(2x3 3x + 1)

148:

lim

tg(x4 + 2x2 3)

ln(x3 + 3x2 1)

x! 1

149:

lim

arcsin(2x4 5x3 + 8)

x!2

ln(x5 15x 1)

150:

lim

ln(x3 + 2x2 + 3x + 7)

x! 2 arctg(x3 + 2x2 + x + 2)

151:

lim

ln(x3 + 2x2 + 3x + 3)

x! 1 sin(x3 + 4x2 + 4x + 1)

2x+3x

22x+5x

152:

lim

153:

lim

3x+5x

32x+2x

x!0 ln

154:

lim

ln(sin2 x + cos10 x)

155:

lim

2sin 5x 2sin 3x

x+1

x!0

ln(1 + x2)

x!0

x2+1

		ecos 7x	ecos 3x				5	1		1
	x!0	ln(1 + sin2 x)			x!1 x	2			5
	x!0	ln(1 + sin2 x)			x!1 x				5
156:	lim			157:	lim			x		1+x
158:	lim	earctg(1+x) earctg(1 x)
	x!0		arctg x

159:

lim

1+sin 2x e

1+sin x

x!0

ln(1 + x)

cos x

1+x2

160:

lim

ln(1 + x2)

x!0

162:

lim

sin[5(x + )]

x!0

e3x 1

164:

lim

sin( 2x)

x!0 sin( 3x)

lim

sin(2 cos3 x)

166:

x!0 sin(2 p3 1 + x2)

168:

lim

sin (2 x )

x!1 ln (x + 1) ln 2

170:

lim

(2x 1)2

esin x e sin 3 x

x!1/2

172:

lim

sin 7x sin 3x

x!2

ex2 e4 2

161: lim

x!0

163: lim

x!0

165: lim

x!0

1 cos 10x

ex2 1

p(e x 1)

( 3 1 + x 1)

p sin(2 1 + x2)

ln cos x

167:	lim	ln(1 + sin2 2x)

	x!0		1 + cos( ex)
169:	lim			ln sin 3x

	x! /6 (6x )2
			2		cos2 x	1
171:	lim

					ln sin x
	x! /2
173:	lim			2sin x 1
	x!3 ln(x3 6x 8)

174:

lim

arcsin (x + 2)/2

175:

lim

2x 16

sin x

x! 2

x!4

2+x+x

176:

lim

esin 2x etg2x

177:

lim

ln cos x

x! /2

ln(2x/ )

x!2 3sin 2x 1

178:

lim

ln(4x 1)

179:

xlim2

tg ex+2 ex2 4

tg x + tg 2

1/2 p

1 cos x 1

180:

lim

ln tg x

181:

lim

ln (x arctg x + 2x)

x! =4

cos 2x

x!0 sin(p

3 + x

p3)

x! =2

ln sin x

182:

lim

cos3 x + sin5 x

cos 2 x + sin4 8 x

x!1

arctg2(x 1)

183:

lim

ln x

x!1

184:

lim

22x+3

2x+4 + p

ln tg x2

x! =2

185:

lim

sin4 x + cos7 x

sin(

1 + 2x

186:

lim

32+x

23+x

x sin2 x + 5x

187:

lim

x 0 arctg(2 + x)

arctg 2

x!1

ln(2 + x) ln 3

188:

lim

cos 4 x + 3x+1

32x+2

189:

x!3

ln (x

1) ln (x

+ 1) + ln 2

lim

sin p2x2 3x 5 p1 + x

arctg cos 7x arctg cos x

190:

lim

ln(1 + sin 3x)

x!0

191:

lim

arctg

1 + x arctg 1 x

x!0

arctg (ex 1)

192:

lim

arctg 2

x!0

arctg x

193:

lim

arctg(2x + 3) arctg(x + 4)

x!1

arctg (2x 2)

194:

lim

ln (1 + 3x) ln (1 + 2x)

sin

p4 1 + 4x 1

x!0

(1 + cos x)

195:

lim

ln (1 + cos 5x) ln

x!0

ln(5 + x) ln 5

x!1

ln2 x

196:

lim

ln 1 +

cos 2 x

ln 2

ln (1 + sin x) ln (1 + cos x)

197:

lim

x! =4

ln tg x

x!1

3x + 3

x!1 x

5x + 5

sin(p

198:

lim

199:

lim

x!2

+ x 1

200:

lim

ln x ln 2

201:

+ 2x

x! 2

lim

2 + x + 3 arctg(x+2)

ln x

1
202: lim x3 + 3x + 3
202: lim x3 + 3x + 3	arcsin(x2	+6x+5)

x! 1

203: lim

x!1

205: lim

x!0

207: lim

x!0

209: lim

x!1

211: lim

x!0

213: lim

x!1

215: lim

x!0

216: lim

x!0

217: lim

x!0

1
x2 7x + 7
x2 7x + 7	cos 2x	204:

sin4 x + cos7 x tg2 x 206:

1 cos5 x

208:

+ sin8 x

p + p3

x 1

210:

31+x 21+x x

212:

1 + pcos 3x!

214:

1 + p

cos 5x

2p3

1 x

1 + x

2p1 + x2 p4 1 + x4 x2

p x ln(1 + x2) + 1 + 2x2

x!1

9x + 9

lim

sin 2 x

x!0

cos x

sin2 x

lim

1 + x4

x!0

lim

p4 cos x arctg2 x

x!0

lim

+ 3

lim

((2 + x)5x

3x)x1

1 + p

x!0

1 + sin 3x

1 + p1 + sin x

lim

arctg2x

218:

x!0

+ ln tg

x + 4

lim

sin3 x

219:

x!1

ln x

lim

1 + 2

220:

x!0

lim

1 + 2sin 3x

2sin x

sin 5x sin x

221:

cos

+ 3

x!1

lim

arctg(x 1)

222:

x!0

lim

ex + arctg2 x sin x

x!0

+ e

223:

lim

tg x

224:

lim ((5 + x)3x

(4 + x)2x)

sin x

225:

x!1

lim

1 + esin 6 x

sin 2 x

sin(x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151 Mб26Pravila_izdaniya_dokymentov.pdf
#
15.11.201973.22 Кб1Pravila_podgotovki_nauchnogo_doklada.doc
#
16.09.201971.68 Кб1pravo otveti 1-9.doc
#
10.11.201968.1 Кб2Pravovaya_statistika.doc
#
17.09.201985.5 Кб3pravo_voprosy_10-20.doc
#
13.02.2015462.4 Кб821predely_efimov_znamenski.pdf
#
03.08.2019142.85 Кб1Problemy_zarubezhnoy_filologii.doc
#
12.03.2016837.12 Кб10Professionalnye_eticheskie_predstavlenia_v_monografii.doc
#
20.09.201988.58 Кб3prognoz_i_ego_mesto.doc
#
13.02.2015155.65 Кб4Programma_konferentsii_23_10_2014.doc
#
13.02.2015180.67 Кб13progr_dm.pdf