Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
predely_efimov_znamenski.pdf
Скачиваний:
816
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
462.4 Кб
Скачать

x2k 1 = y2k 1( 1)2k 1 ! 23;

x2k = y2k( 1)2k ! 23; k ! 1:

Поскольку подпоследовательности x2k 1 и x2k сходятся к разным пределам последовательность xn расходится.

Доказать расходимость последовательности xn:

 

 

 

 

 

 

2n + 1

( 1)n

 

 

 

 

 

 

 

3n +

2

 

n

66: xn =

 

 

 

 

67: xn =

 

 

sin

 

 

n + 3

2n +

5

2

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

n(n2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos p

 

 

68: x

n

=

(

 

1)

 

 

 

 

69: x

n

2

+ n2 2

4n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70: xn = 1 + p

 

 

 

 

+ +

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

71: xn =

p

 

 

+

p

 

 

+ +

p

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 1

 

n + 2

2n

 

 

 

 

 

 

2Предел функции.

Определение. 2.1 Будем говорить, что функция f(x) имеет предел при x ! a; равный A,

 

 

обозначим lim f(x) = A

x!a

если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для всех значений аргумента x; которые удовлетворяют условию 0 < jx aj < ; выполняется jf(x) Aj < "

(т.е. 8" > 0 9 > 0 8x : 0 < jx aj < jf(x) Aj < ") :

15

Определение. 2.2 Число A называется пределом слева функции f(x) в

точке a,

 

 

обозначим lim f(x) = A

x!a 0

если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для всех x; которые удовлетворяют условию < x a < 0; выполняется jf(x) Aj < "

(т.е. 8" > 0 9 > 0 8x : < x a < 0 jf(x) Aj < ") :

Определение. 2.3 Число A называется пределом справа функции f(x) в

точке a,

 

 

обозначим lim f(x) = A

x!a+0

если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для всех x; которые удовлетворяют условию 0 < x a < ; выполняется jf(x) Aj < "

(т.е. 8" > 0 9 > 0 8x : 0 < x a < jf(x) Aj < ") :

 

Используя бином Ньютона можно получить

 

 

 

 

lim

(1 + x)n 1

= n; n

2 N

:

(1)

 

 

x

x 0

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

pn

 

1

 

 

 

 

 

 

1 + x

=

1

; n

2 N

:

(2)

 

x

 

x 0

 

 

 

n

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеют место два замечательных предела:

lim sin x = 1: - первый замечательный предел

x!0 x

1

- второй замечательный предел

lim (1 + x)x = e:

x!0

 

Пределы получаемые непосредственно из замечательных пределов указан-

16

ных выше:

lim

tg x

= 1:

 

 

 

 

 

x!0

x

 

 

 

 

lim

arcsin x

= 1:

 

x

 

x!0

 

 

 

 

lim

arctg x

 

= 1:

 

 

x

 

 

x!0

 

 

 

 

lim

1 cos x

=

1

:

 

2

x!0

x2

 

 

 

n!1

1

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1 +

 

 

 

 

 

= e:

 

 

 

 

 

lim

(1 + x) 1

= ;

2 R

:

 

x

!

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ax 1

 

= ln a; a > 0:

 

 

 

x

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

logb(1 + x)

 

1

; b >

 

; b

:

 

= ln b

0

x

!

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

6= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. 2.4 Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными (f(x) g(x)) при x ! a; если

lim f(x) = 1:

x!a g(x)

Из пределов (1), (2) получаем следующие соотношения эквивалентности:

(1 + (x))n 1 n (x);

при (x) ! 0; x ! a; n 2 N:

( (x))n 1 n ( (x) 1) ;

при (x) ! 1; x ! a; n 2 N:

pn

 

 

1

 

при (x) ! 0; x ! a; n 2 N:

 

 

1 + (x) 1

 

(x);

n

pn

 

1

 

 

 

при (x) ! 1; x ! a; n 2 N:

 

 

 

(x) 1

 

( (x) 1) ;

n

Из замечательных пределов получаем следующие соотношения эквива-

лентности:

 

sin (x) (x);

при (x) ! 0; x ! a:

17

arcsin (x) (x);

tg (x) (x);

arctg (x) (x);

1

(1 + (x)) (x) e;

(x)

1 + 1 e;(x)

(1 + (x)) 1 (x);

( (x)) 1 ( (x) 1) ;

b (x) 1 (x) ln b;

1 cos (x) 12 2(x);

(x) logb(1 + (x)) ln b ;

ln( (x)) (x) 1;

при (x) ! 0; x ! a:

при (x) ! 0; x ! a:

при (x) ! 0; x ! a:

при (x) ! 0; x ! a:

при (x) ! 1; x ! a:

при (x) ! 0; x ! a; 2 R:

при (x) ! 1; x ! a; 2 R:

при (x) ! 0; x ! a; b > 0:

при (x) ! 0; x ! a:

при (x) ! 0; x ! a; b > 0; b 6= 1:

при (x) ! 1; x ! a:

2.1Вычисление предела функции, теоремы о пределах.

Пример. 2.1 Найти

 

 

lim

x4 + 3x3 + 3x2 x 6

:

x!2 x4 + 4x3 + 2x2 5x 2

 

Решение.

При подстановке в числитель и знаменатель дроби значения x = 2 соот-

18

ветственно получаем

( 2)4 + 3( 2)3 + 3( 2)2 ( 2) 6 = 0

и

( 2)4 + 4( 2)3 + 2( 2)2 5( 2) 2 = 0:

В нашем случае x4 +3x3 +3x2 x 6 ! 0; x4 +4x3 +2x2 5x 2 ! 0; x ! 2

(неопределённость 00), так как 2 является корнем данных многочленов. Тогда выражение x + 2 является делителем данных многочленов. Разделим многочлен x4 + 3x3 + 3x2 x 6 на x + 2 уголком:

x4 +3x3 +3x2 x 6

x + 2

x4 +2x3

 

 

x3 + x2 + x 3

 

x3

+3x2

 

 

 

x3

+2x2

 

 

 

 

x2

x

 

 

x2

+2x

3x 6

3x 6

0

или воспользовавшись схемой Горнера (см. например [3]):

1 3 3 1 6

2 1 1 1 3 0

Поэтому

x4 + 3x3 + 3x2 x 6 = (x + 2)(x3 + x2 + x 3)

19

Аналогично проведём деление многочлена x4 + 4x3 + 2x2 5x 2 на x + 2:

x4 +4x3 +2x2 5x 2

x + 2

x4 +2x3

 

 

x3 + 2x2 2x 1

 

2x3

+2x2

 

2x3

+4x2

 

 

 

2x2 5x

 

 

2x2 4x

x 2x 2

0

или

1 4 2 5 22 1 2 2 1 0

Следовательно:

 

x4 + 4x3 + 2x2 5x 2 = (x + 2)(x3 + 2x2 2x 1):

 

Тогда

 

 

 

lim

x4 + 3x3 + 3x2 x 6

 

= lim

(x + 2)(x3 + x2 + x 3)

:

 

 

(x + 2)(x3 + 2x2 2x 1)

x!2 x4 + 4x3 + 2x2 5x 2

x!2

 

После сокращения дроби на x + 2 получим:

 

 

lim

x3 + x2 + x 3

 

 

x!2 x3 + 2x2 2x 1

 

При подстановке в x3 + x2 + x 3 и x3

+ x2 + x 3 значения x = 2

соответственно получаем

 

 

 

( 2)3 + ( 2)2 + ( 2) 3 = 11

и

( 2)3 + 2( 2)2 2( 2) 1 = 11:

Тогда

x3 + x2 + x 3

 

 

11

 

lim

 

=

= 1:

 

 

 

x!2 x3 + 2x2 2x

1 11

 

20

Пример. 2.2 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x7 + x5 2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7 + x5

 

2

 

 

 

 

x!1

x7

 

 

1 + x5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

 

 

1 x5

1

x!1

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x

 

1

 

 

 

 

x

1

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

:

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

= lim

 

 

= 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

x 1

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(использовано x7 1 7(x 1); x ! 1) и, аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x5 1

 

 

= lim

5(x 1)

 

 

= 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

x 1

 

 

 

 

x!1

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то по теореме о пределе суммы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

 

1 x5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x!1

 

x5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x

 

1

 

 

 

 

x

1 = x!1

x

1

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

+ lim

 

 

 

 

 

 

 

= 7 + 5 = 12:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 2.3 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6 + 3x5 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x5 + 2x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение под знаком предела представим в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

6

+ 3x

5

 

 

4 x

6

 

1 + 3(x

5

 

 

1)

 

 

 

x6 1

+ 3

 

x5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5 + 2x2

 

=

 

 

 

 

1 + 2(x2

 

 

 

=

 

 

5

+ 2

 

 

2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x5

 

 

 

1)

 

 

 

x

1

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

= lim

 

 

= 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

x 1

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(использовано x6 1 6(x 1); x ! 1) и, точно так же,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x5 1

 

= 5;

lim

x2 1

 

= 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x 1

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то на основании теорем о пределах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

6

 

+ 3x

5

 

4

 

 

lim x6 1

+ 3

 

 

lim x5 1

 

 

6 + 15 21 7

 

 

 

 

 

 

x

!

1

x 1

 

 

 

 

x

!

1

x 1

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 + 4

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x5 + 2x2

 

 

 

lim x 1

 

 

lim x 1

 

 

 

 

9

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

x 1

 

 

 

 

x!1

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

Пример. 2.4 Найти

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x 1

2x 3

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= x!2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p

x

1

p3

2x

 

 

 

3

 

 

 

lim

 

 

px 1 1

 

 

 

 

 

p3 2x 3

1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x!2

 

 

 

 

x

 

2

 

1

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

x

1

 

 

3

2x

 

 

3

 

1

 

:

 

 

 

 

 

 

 

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p

 

 

1

= lim

21(x 1 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

и

 

 

x!2

x 2

 

 

 

 

x!2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p3

 

1

= lim

31(2x 3 1)

 

 

 

32(x 2)

 

 

 

 

 

 

2x 3

= lim

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x!2

 

x 2

 

 

 

 

x!2

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

x!2

 

 

x 2

 

 

p p

(мы использовали x 1 1 12(x 1 1); 3 2x 3 1 13(2x 3 1); x !

2). Следовательно, по теореме о пределе суммы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

 

x

2

1

 

3

 

 

 

x

2

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

2x

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

1

 

 

lim

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

2x 3

 

=

1

 

 

2

=

 

1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

x

 

2

 

 

 

 

x

!

2

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 6

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение под знаком предела преобразуем так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

6 (x 1)3 6 (2x 3)2

 

 

x 1

2x 3

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 (2x 3)2

q

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 (x 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

Далее

x 2 q

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

= x 2

 

 

2

 

 

6

(x 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(x 1)3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

(2x 3)2 1

 

= lim

6

 

(2x 3)2

 

 

 

lim

(x 1)

 

(2x 3)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

x 2

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

!

 

6(x 2)(2x 3)

 

 

= lim

x3 3x2 + 3x 1 4x2 + 12x 9

= lim

x3 7x2 + 15x 10

=

x!2

 

 

 

6(x 2)(2x 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

6(x 2)(2x 3)2

 

 

 

 

 

= lim

 

(x 2)(x2 5x + 5)

 

= lim

x2 5x + 5

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

x!2

 

6(x 2)(2x 3)2

 

 

 

x!2

 

 

6(2x 3)2

 

 

 

 

(использовано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s6

 

 

 

 

1 6 (2x 3)2 1 ; x ! 2

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

1)3

 

 

 

 

 

1

 

 

(x

1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

x

 

 

 

 

2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 3)2 !

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равенство x3 7x2 + 15x 10 = (x 2)(x2 5x + 5) может быть получено

делением многочлена x3 7x2 + 15x 10 на x 2).

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как p6 (2x 3)2 = p3

2x 3 1; x ! 2; то искомый предел равен

:

 

6

Вычислить предел функции:

 

 

 

 

 

 

72:

lim

7x3

+ x 1

73:

lim

2x2 4x + 3

 

 

 

 

 

 

 

3x2 x + 5

x2 x + 4

 

 

 

x!1

 

 

x!2

 

 

74:

lim

x4 + x2 1

75:

lim

x3 4x2 + 10

 

 

7x7 2x + 1

2x2 4x 8

 

 

 

x!0

 

 

x!3

 

 

76:

lim

x2 + x 6

77:

lim

 

x2 + 2x 3

 

 

 

2x2 3x 2

 

 

 

 

x!2

 

 

x! 3 x2 + x 6

 

 

23

78:

lim

 

x2 + x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

80:

lim

 

 

 

x3 + 4x2 + 5x + 2

 

 

 

 

 

 

x3 3x 2

 

 

x! 1

 

 

 

 

82:

lim

 

 

 

 

 

 

x2 + 3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! 1 x3 + 2x2 x 2

84:

lim

 

 

 

 

x2 + 2x 3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

x

3

+ 4x

2

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86:

lim

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x4 x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

88:

lim

 

 

 

 

 

 

x3 3x + 2

 

x! 2 x3 + 7x2 + 16x + 12

90.

lim

x9 + x7 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92.

lim

x5 9x 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!2

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p

 

 

p6

 

 

 

 

94.

3 2x

5 4x

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p

 

 

p3

 

 

 

 

96.

4 3x

6 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p5 3 2x p2 x

x!1

 

 

79:

lim

x2 + 4x + 3

 

3x2 + 2x 1

 

x! 1

81:

lim

x3 + 4x2 5

 

 

 

 

 

 

x!1 x3 2x + 1

83:

lim

x3 + 5x2 + 8x + 4

 

 

x3 + 3x2 4

 

 

x! 2

 

 

85:

lim

x3 4x2 3x + 18

 

 

 

x!3 x3 5x2 + 3x + 9

87:

lim

 

 

x3 3x + 2

 

 

 

x!1 x3 x2 x + 1

89:

lim

x3 3x 2

 

 

(x2 x 2)2

 

x! 1

91.

lim

 

 

 

x9 + x5 2

 

 

 

x!1 x5 + x4 + x3 3

 

lim

x7 p5

 

 

 

 

 

 

 

93.

2 x

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

x!1

 

 

 

lim

p3

 

p6

 

 

 

95.

2 x

4 3x

 

 

 

 

 

x5 + 2x3 3

 

x!1

 

 

 

lim

p

 

p3

 

97.

5 2x

7 3x

 

 

x!2

 

 

 

x 2

24

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]