x2k 1 = y2k 1( 1)2k 1 ! 23;

x2k = y2k( 1)2k ! 23; k ! 1:

Поскольку подпоследовательности x2k 1 и x2k сходятся к разным пределам последовательность xn расходится.

2Предел функции.

Определение. 2.1 Будем говорить, что функция f(x) имеет предел при x ! a; равный A,

обозначим lim f(x) = A

x!a

если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для всех значений аргумента x; которые удовлетворяют условию 0 < jx aj < ; выполняется jf(x) Aj < "

(т.е. 8" > 0 9 > 0 8x : 0 < jx aj < jf(x) Aj < ") :

15

Определение. 2.2 Число A называется пределом слева функции f(x) в

точке a,

обозначим lim f(x) = A

x!a 0

если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для всех x; которые удовлетворяют условию < x a < 0; выполняется jf(x) Aj < "

(т.е. 8" > 0 9 > 0 8x : < x a < 0 jf(x) Aj < ") :

Определение. 2.3 Число A называется пределом справа функции f(x) в

точке a,

обозначим lim f(x) = A

x!a+0

если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для всех x; которые удовлетворяют условию 0 < x a < ; выполняется jf(x) Aj < "

Имеют место два замечательных предела:

lim sin x = 1: - первый замечательный предел

x!0 x

Пределы получаемые непосредственно из замечательных пределов указан-

16

Определение. 2.4 Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными (f(x) g(x)) при x ! a; если

lim f(x) = 1:

x!a g(x)

Из пределов (1), (2) получаем следующие соотношения эквивалентности:

Из замечательных пределов получаем следующие соотношения эквива-

17

2.1Вычисление предела функции, теоремы о пределах.

Решение.

При подстановке в числитель и знаменатель дроби значения x = 2 соот-

18

ветственно получаем

( 2)4 + 3( 2)3 + 3( 2)2 ( 2) 6 = 0

и

( 2)4 + 4( 2)3 + 2( 2)2 5( 2) 2 = 0:

В нашем случае x4 +3x3 +3x2 x 6 ! 0; x4 +4x3 +2x2 5x 2 ! 0; x ! 2

(неопределённость 00), так как 2 является корнем данных многочленов. Тогда выражение x + 2 является делителем данных многочленов. Разделим многочлен x4 + 3x3 + 3x2 x 6 на x + 2 уголком:

3x 6

3x 6

0

или воспользовавшись схемой Горнера (см. например [3]):

1 3 3 1 6

2 1 1 1 3 0

Поэтому

x4 + 3x3 + 3x2 x 6 = (x + 2)(x3 + x2 + x 3)

19

Аналогично проведём деление многочлена x4 + 4x3 + 2x2 5x 2 на x + 2:

x 2x 2

0

или

1 4 2 5 22 1 2 2 1 0

Следовательно:

( 2)3 + ( 2)2 + ( 2) 3 = 11

и

( 2)3 + 2( 2)2 2( 2) 1 = 11:

20

Пример. 2.2 Найти

21

p p

(мы использовали x 1 1 12(x 1 1); 3 2x 3 1 13(2x 3 1); x !

2). Следовательно, по теореме о пределе суммы