Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
predely_efimov_znamenski.pdf
Скачиваний:
816
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
462.4 Кб
Скачать

4Формула Тейлора, применение к вычислению предела функции.

Определение. 4.1 Запись

'(x) = o( (x)) при x ! a

обозначает, что

'(x) = (x) (x);

где (x) ! 0 при x ! a:

Свойства o:

o(o(f(x))) = o(f(x))

o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x))

o( f(x)) = o(f(x))

o(xn) + o(xm) = o(xk) при x ! 0; где k = minfn; mg

xn o(xm) = o(xn+m) при x ! 0

Если n > m; то xn = o(xm) при x ! 0

Теорема. 4.1 Если:

функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0;

в этой окрестности существуют производные f0(x); : : : ; fn 1(x);

в точке x0 существует производная fn(x0);

то тогда

X

n f(k)(x0)

f(x) = (x x0)k + o(x x0)n: k!

k=0

51

Из теоремы следует справедливость следующих разложений:

 

 

 

x3

x5

 

 

 

 

 

x7

 

 

+ ( 1)n 1

 

x2n 1

 

 

(3)

sin x = x

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

o

(x2n)

3!

 

5!

 

7!

 

(2n

 

1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x4

 

 

x6

 

 

 

 

 

 

x2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

cos x = 1

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ + ( 1)n

 

 

 

 

 

+

 

o

(x2n+1)

 

2!

 

4!

 

6!

(2n)!

 

ex = 1 + x +

 

x2

 

 

 

 

 

x3

 

x4

 

xn

 

 

 

 

(xn)

 

 

(5)

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

+ +

 

 

+

o

 

 

2!

3!

4!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x3

x4

+ + ( 1)n 1

xn

 

 

(6)

ln(1 + x) = x

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

(xn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

2

3

4

n

 

(1 + x) = 1 + x +

( 1)

x2 +

( 1)( 2)

x3 +

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

( 1)( 2) ( n + 1)

xn +

 

(xn)

 

 

(7)

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1Разложение функций по формуле Тейлора.

Пример. 4.1 Разложить функцию

 

1

по формуле Тейлора до x4

:

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

= (1 + x2) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и воспользуемся формулой (1 + x) = 1 + x +

( 1)

x2 +

 

(x2); тогда

o

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

(1 + x2) 1 = 1 + ( 1)x2

+

 

( 1)( 1 1)

x4

+

 

(x4) =

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

= 1 x2 + x4 + o(x4):

Разложить функции по формуле Тейлора:

273.

tg x (до x3)

274.

arctg x (до x3)

275.

arcsin x (до x3)

276.

esin x (до x2)

277.

p

 

(до x4)

278.

ln(1 + sin x) (до x3)

cos x

279.

p

 

(до x2)

280.

etg x (до x3)

1 + sin x

281.

earctg x (до x3)

282.

arctg(ex 1) (до x3)

283.earcsin x (до x3)

4.2Применение к вычислению пределов.

Отметим, что с помощью формулы Тейлора могут быть решены примеры 3.1-3.5 предыдущего раздела, сводящиеся к вычислению стандартных пределов:

1.

lim

ex 1 x

;

 

 

 

 

 

x!0

x2

 

 

 

 

2.

lim

1 cos 2x 2x2

;

 

 

x!0

x4

 

 

 

 

3.

lim

x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)

;

 

x!0

 

 

x2

 

 

 

4.

lim

ln(1 + x) tg x

;

 

 

x!0

x2

 

 

 

 

5.

lim

x arcsin x

:

 

 

 

x3

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

53

Приведём вычисления, используя разложения (3-7) на стр. 52.

Пример. 4.2 Найти

lim ex 1 x:

x!0 x2

Решение.

Удерживая в разложении для ex члены до x2; находим

 

ex 1 x

 

 

 

 

 

1 + x + x2!2 +

 

(x2) 1 x

=

lim

 

= lim

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

x2

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2 +

 

(x2)

 

 

 

1

 

 

 

(x2)

=

1

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

+

o

 

= x!0

x2

 

2

 

x2

2

 

 

lim

2

 

 

 

 

 

= lim

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 4.3 Найти

lim 1 cos 2x 2x2 :

x!0 x4

Решение.

Из

cos x = 1 x2 + x4 + o(x5) 2! 4!

получаем

cos 2x = 1 (22!x)2 + (24!x)4 + o(x5) = 1 2x2 + 23x4 + o(x5):

Отсюда

 

 

 

 

 

 

1 1 + 2x2 32x4 +

 

 

(x5) 2x2

 

 

32x4 +

 

(x5)

 

 

 

 

 

lim

o

= lim

o

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x!0

2

 

 

 

 

 

(x5)

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

+

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

x4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

x5

 

x ! 0; x ! 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

o

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o(

=

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 4.4 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

54

Решение.

Удерживая в разложении для ln(1 + x) члены до x2; получим

ln(1 + x) = x x2 + o(x2); 2

откуда

ln(1 + x) = 2x (22x)2 + o(x2):

Тогда

 

x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)

 

= lim

x + x x22 2x + 2x2 +

 

(x2)

=

lim

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 +

 

 

(x2)

x!0

3

 

 

 

 

 

 

 

(x2)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

= x!0

 

o

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

2

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

x2 +

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

:

 

 

 

 

Пример. 4.5 Найти

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + x) tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из ln(1 + x) = x

 

 

(x2) и tg x = x +

 

 

(x2) следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + x) tg x

= lim

x x22 x +

 

(x2)

=

 

lim

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x22 +

 

(x2)

 

x2

 

(x2)

=

 

 

 

 

 

1

:

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

lim

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

x2

 

 

 

 

= x!0 2 +

 

 

 

2

 

 

 

Пример. 4.6 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Для f(x) = arcsin x; как нетрудно проверить, f(0) = 0; f0(0) = 1; f00(0) = 0; f000(0) = 1; значит arcsin x = x + 16x3 + o(x3): Тогда

 

x arcsin x

= lim

x x 61x3 +

 

(x3)

 

lim

o

=

x3

x3

x!0

x!0

 

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61x3 +

 

 

 

(x3)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x3 +

 

 

(x3)

==

 

 

1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

= lim

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

!

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

!

0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 4.7 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

1 + x + x2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

1 + sin(ex

1)

 

 

 

x2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из разложений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2); ex = 1 + x +

 

x2

 

 

 

 

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x = x +

o

 

 

 

 

 

+

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(ex 1) = ex 1 +

 

 

 

 

(ex

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2) +

 

 

 

 

(ex 1)2:

 

 

o

 

= x +

 

 

 

+

o

o

2

Но

 

(ex 1)2 в силу ex 1 x; x ! 0 есть

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ex 1)2

 

=

 

 

(ex 1)2

 

 

(ex 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

o

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1 = 0; x

 

 

 

 

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

!

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

(ex 1)2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит sin(ex 1) = x +

x2

 

 

 

 

 

(x2): Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

1 + x + x2

 

 

 

1

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+sin(ex 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + sin(ex

 

1)

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

= lim ex2

 

 

 

1+x+x2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1+sin(ex

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(ex 1) x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+x+x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim e

 

 

 

 

= lim e

 

x2(1+x+x2)

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+x2

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

(x2) x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim e

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim e 2+

 

 

 

 

x2

 

= e 21 :

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 4.8 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

1 + 2x 1 sin x

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

ln(1 + sin x) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

+ o(x2) дают

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь разложениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + x) = x

x2

 

 

 

 

(x2); sin x = x +

 

 

(x2);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

o

o

 

 

 

 

2

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x +

 

 

(sin2 x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + sin x) = sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x +

 

(x2) +

 

 

x +

 

 

 

 

(x2) 2

+

 

(sin2 x) = x +

 

 

 

x2 +

 

 

(x2)

o

o

o

 

o

2

 

2

учитываем, что

 

(sin2 x) ввиду sin x x; x ! 0 есть

 

(x2) :

o

o

 

 

(sin2 x)

 

 

 

 

(sin2 x)

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ! 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 0 1 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

sin2 x

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, используя разложение p

 

 

 

= 1 + x =

1

x2 +

 

 

(x2); полагаем

1 + 2x

o

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin x

 

 

 

 

 

1 + x 21x2 1 x +

 

(x2)

=

 

 

1 + 2x

 

 

 

 

 

lim

 

 

= lim

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

ln(1 + sin x) x

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

x + 21x2 +

 

 

 

(x2) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21x2 + o(x2)

 

 

 

 

 

lim

21

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

x2

=

 

1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

= x 0 1

 

 

o

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

2x

 

+ o(x

)

 

 

 

!

2 +

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. 4.9 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 p

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2 ln(1 + x)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Разложения p1 + 2x = 1 + x 12x2 + o(x2); ln(1 + x) = x + o(x); ln(1 + x) =

x x2

2

p1 + 2 ln(1 + x) = 1 + x 12x2 + o(x2) 12(x + o(x))2 + o ln2(1 + x) = = 1 + x x2 + o(x2)

учитываем, что o(ln2(1 + x)) ввиду ln(1 + x) x; x ! 0 есть o(x2) :

57

 

 

(ln2(1 + x))

 

 

(ln2(1 + x))

ln2(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 0 1 = 0; x ! 0;

 

 

 

 

x2

ln2(1 + x)

 

x2

 

 

 

 

 

 

также замечаем (x +

 

 

 

(x))2 = x2 +

 

(x2) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

o

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 p

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

x x2

+ o(x2) x

ln(1 + x) x

 

 

 

 

lim

 

1 + 2 ln(1 + x) 1 sin x

 

 

= lim

1 + x x2 +

o

(x2) 1 x +

o

(x2)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + o(x2)

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

(x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 +

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 2 + o(x2)

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

Пример. 4.10 Найти

1

 

xlim x3 arcsin

 

x2 :

x

!1

 

 

Решение.

Из разложения arcsin x = x + 16x3 + o(x3) (см. пример 4.6) следует

 

 

 

 

 

 

arcsin x

 

= x

+ 6

x3

+ o x3

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 6 x3 +

 

 

x3

 

 

 

 

x!1

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

=

lim

x3

 

 

1

 

 

x2

= lim

 

x3

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x3

1

 

 

= lim

 

x2 + 1 + x3o

 

 

1

 

 

 

 

x2 = lim

1 + o

= 1:

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

x3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

C

 

 

 

 

 

Пример. 4.11 Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x sin e

1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58

Решение.

Воспользуемся разложением (см. пример 4.7)

sin(ex 1) = x + x2 + o(x2); 2

из которого находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(ex 1) =

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

x2

x2

 

 

 

 

 

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1 x sin e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x2

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

x2

+

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x!1

 

x

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

= lim

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

= lim

 

 

 

 

+

 

 

 

 

x

 

=

 

 

:

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

!

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить пределы используя формулу Тейлора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 x!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

284.

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xlim

 

 

1 + sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

r

 

1 x

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

285.

x!1 x arctg e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

p

 

1 x + ln(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

286.

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

287.

lim

xex (1 + x) sin x

 

 

288.

lim

cos x 1 + x2=2

 

x!0

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 ex2 1 sin(x2)

 

 

 

cos x sin x e x

 

 

 

lim

ex2 p4

 

 

 

 

 

289.

lim

 

 

290.

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x2

 

x!0

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

cos x e

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

cos x2 p

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x4

291.

2

 

 

 

 

 

 

 

292.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 sin x2

 

x!0

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

293.

lim

 

 

1 (cos x)sin x

 

 

 

 

 

294.

lim

x sin x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ex4

 

x!0

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

x!0

295.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

296.

x!0

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

1

ln(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

297.

lim

esin x earctg x

 

 

 

 

 

298.

lim

2sin x 2arcsin x

 

 

 

x!0

 

 

 

 

sin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

arcsin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

299.

lim

 

 

3cos x 3

 

 

 

 

 

 

 

300.

lim

e1+sin x e 1+2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

arctg3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

x2

301.

lim

earcsin x earctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

arctg3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

302.

lim

earctg x ln(1 + x) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

arctg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(sin x) xp3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

303.

lim

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

304.

lim

 

1

+ 2x + 1 + 4x 2

 

1 + 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

p

 

 

 

 

 

+ p

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

2e32x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

305.

1

+ 2x

1 + 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

+ 2 ln(1 + x) e4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

306.

1

+ 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

ln2(1 + x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 4 3

 

 

 

 

 

!

307.

x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1 +

 

 

x + 3 +

 

 

x +

3

 

 

!

1

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

lim

xp

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

308.

x!1

x

sin x

x

 

 

 

309.

x!1

 

x

x

 

 

 

lim

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x3 tg

1

 

 

2

 

310.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

2x3etg x1

 

 

2x3

 

2x2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]