Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

predely_efimov_znamenski.pdf

Скачиваний:

821

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

462.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

4Формула Тейлора, применение к вычислению предела функции.

Определение. 4.1 Запись

'(x) = o( (x)) при x ! a

обозначает, что

'(x) = (x) (x);

где (x) ! 0 при x ! a:

Свойства o:

o(o(f(x))) = o(f(x))

o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x))

o( f(x)) = o(f(x))

o(xn) + o(xm) = o(xk) при x ! 0; где k = minfn; mg

xn o(xm) = o(xn+m) при x ! 0

Если n > m; то xn = o(xm) при x ! 0

Теорема. 4.1 Если:

функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0;

в этой окрестности существуют производные f0(x); : : : ; fn 1(x);

в точке x0 существует производная fn(x0);

то тогда

n f(k)(x0)

f(x) = (x x0)k + o(x x0)n: k!

k=0

Из теоремы следует справедливость следующих разложений:

+ ( 1)n 1

x2n 1

(3)

sin x = x

(x2n)

(2n

1)!

x2n

(4)

cos x = 1

+ + ( 1)n

(x2n+1)

(2n)!

ex = 1 + x +

(xn)

(5)

+ +

+ + ( 1)n 1

(6)

ln(1 + x) = x

(xn)

(1 + x) = 1 + x +

( 1)

x2 +

( 1)( 2)

x3 +

( 1)( 2) ( n + 1)

xn +

(xn)

(7)

4.1Разложение функций по формуле Тейлора.

Пример. 4.1 Разложить функцию

по формуле Тейлора до x4

1 + x2

Решение.

Представим

= (1 + x2) 1

1 + x2

и воспользуемся формулой (1 + x) = 1 + x +

( 1)

x2 +

(x2); тогда

(1 + x2) 1 = 1 + ( 1)x2

( 1)( 1 1)

(x4) =

= 1 x2 + x4 + o(x4):

Разложить функции по формуле Тейлора:


273.	tg x (до x3)				274.	arctg x (до x3)
275.	arcsin x (до x3)				276.	esin x (до x2)
277.	p		(до x4)		278.	ln(1 + sin x) (до x3)
		cos x
279.	p			(до x2)	280.	etg x (до x3)
		1 + sin x
281.	earctg x (до x3)				282.	arctg(ex 1) (до x3)

283.earcsin x (до x3)

4.2Применение к вычислению пределов.

Отметим, что с помощью формулы Тейлора могут быть решены примеры 3.1-3.5 предыдущего раздела, сводящиеся к вычислению стандартных пределов:

1.	lim	ex 1 x	;
	x!0	x2
2.	lim	1 cos 2x 2x2				;
	x!0	x4
3.	lim	x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)					;
	x!0			x2
4.	lim	ln(1 + x) tg x			;
	x!0	x2
5.	lim	x arcsin x		:
5.	lim	x3		:
	x!0	x3

Приведём вычисления, используя разложения (3-7) на стр. 52.

Пример. 4.2 Найти

lim ex 1 x:

x!0 x2

Решение.

Удерживая в разложении для ex члены до x2; находим

ex 1 x

1 + x + x2!2 +

(x2) 1 x

lim

= lim

x!0

1x2 +

(x2)

x!0

= x!0

lim

= lim

Пример. 4.3 Найти

lim 1 cos 2x 2x2 :

x!0 x4

Решение.

Из

cos x = 1 x2 + x4 + o(x5) 2! 4!

получаем

cos 2x = 1 (22!x)2 + (24!x)4 + o(x5) = 1 2x2 + 23x4 + o(x5):

Отсюда

1 1 + 2x2 32x4 +

(x5) 2x2

32x4 +

(x5)

lim

= lim

x!0

= x!0

(x5)

lim

x ! 0; x ! 0 :

)

(

Пример. 4.4 Найти

lim

x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)

x!0

Решение.

Удерживая в разложении для ln(1 + x) члены до x2; получим

ln(1 + x) = x x2 + o(x2); 2

откуда

ln(1 + x) = 2x (22x)2 + o(x2):

Тогда

x + ln(1 + x) ln(1 + 2x)

= lim

x + x x22 2x + 2x2 +

(x2)

lim

x!0

3x2 +

(x2)

x!0

(x2)

= x!0

lim

= lim

x2 +

Пример. 4.5 Найти

ln(1 + x) tg x

lim

x!0

Решение.

Из ln(1 + x) = x

(x2) и tg x = x +

(x2) следует

ln(1 + x) tg x

= lim

x x22 x +

(x2)

lim

x!0

x22 +

(x2)

= lim

lim

x!0

= x!0 2 +

Пример. 4.6 Найти

x arcsin x

lim

x!0

Решение.

Для f(x) = arcsin x; как нетрудно проверить, f(0) = 0; f0(0) = 1; f00(0) = 0; f000(0) = 1; значит arcsin x = x + 16x3 + o(x3): Тогда

	x arcsin x	= lim	x x 61x3 +		(x3)
lim				o		=
	x3		x3
x!0		x!0

61x3 +

(x3)

x3 +

(x3)

= lim

Пример. 4.7 Найти

x!0

1 + x + x2

lim

1 + sin(ex

Решение.

Из разложений

(x2); ex = 1 + x +

(x2)

sin x = x +

находим

sin(ex 1) = ex 1 +

(ex

1)2

(x2) +

(ex 1)2:

= x +

Но

(ex 1)2 в силу ex 1 x; x ! 0 есть

(x2)

(ex 1)2

1 = 0; x

0 ;

(ex 1)2

значит sin(ex 1) = x +

(x2): Тогда

x!0

1 + x + x2

x!0

1+sin(ex 1)

1 + sin(ex

lim

= lim ex2

1+x+x2

1+sin(ex

sin(ex 1) x x2

1+x+x2

= lim e

x2(1+x+x2)

x+x2

x!0

(x2)

(x2) x

(x2)

= lim e

= lim e 2+

= e 21 :

x!0

Пример. 4.8 Найти

lim

1 + 2x 1 sin x

x!0

ln(1 + sin x) x

+ o(x2) дают

Решение.

Пользуясь разложениями

ln(1 + x) = x

(x2); sin x = x +

(x2);

находим

sin2 x +

(sin2 x) =

ln(1 + sin x) = sin x

= x +

(x2) +

x +

(x2) 2

(sin2 x) = x +

x2 +

(x2)

учитываем, что

(sin2 x) ввиду sin x x; x ! 0 есть

(x2) :

(sin2 x)

sin2 x

x ! 0 :

! 0 1 = 0;

sin2 x

Отсюда, используя разложение p

= 1 + x =

x2 +

(x2); полагаем

1 + 2x

1 sin x

1 + x 21x2 1 x +

(x2)

1 + 2x

lim

= lim

x!0

ln(1 + sin x) x

x!0

x + 21x2 +

(x2) x

(x2)

21x2 + o(x2)

lim

= lim

x 0

= x 0 1

(x2)

+ o(x

)

2 +

Пример. 4.9 Найти

x!0 p

sin x

ln(1 + x)

1 + 2 ln(1 + x)

lim

Решение.

Разложения p1 + 2x = 1 + x 12x2 + o(x2); ln(1 + x) = x + o(x); ln(1 + x) =

x x2

p1 + 2 ln(1 + x) = 1 + x 12x2 + o(x2) 12(x + o(x))2 + o ln2(1 + x) = = 1 + x x2 + o(x2)

учитываем, что o(ln2(1 + x)) ввиду ln(1 + x) x; x ! 0 есть o(x2) :

(ln2(1 + x))

ln2(1 + x)

! 0 1 = 0; x ! 0;

ln2(1 + x)

также замечаем (x +

(x))2 = x2 +

(x2) :

Тогда

x!0 p

x!0

x x2

+ o(x2) x

ln(1 + x) x

lim

1 + 2 ln(1 + x) 1 sin x

= lim

1 + x x2 +

(x2) 1 x +

(x2)

x2 + o(x2)

1 +

= lim

= 2:

(x2)

21 +

x!0 2 + o(x2)

x!0

Пример. 4.10 Найти

1
xlim x3 arcsin		x2 :
	x
!1

Решение.

Из разложения arcsin x = x + 16x3 + o(x3) (см. пример 4.6) следует

arcsin x

= x

+ 6

+ o x3

Тогда

arcsin x

+ 6 x3 +

x!1

lim

= lim

x2 + 1 + x3o

x2 = lim

1 + o

= 1:

x!1

Пример. 4.11 Найти

1 x

x!1 x sin e

lim

Решение.

Воспользуемся разложением (см. пример 4.7)

sin(ex 1) = x + x2 + o(x2); 2

из которого находим

sin(ex 1) =

Получаем

1 x =

lim

x!1 x sin e

lim

= x!1

+ x2

= lim

x +

= lim

Вычислить пределы используя формулу Тейлора:

2x2 x!

284.

2x2

xlim

1 + sin

1 x

285.

x!1 x arctg e

lim

1 x + ln(1 + x)

286.

1 + x2

x!0

287.

lim

xex (1 + x) sin x

288.

lim

cos x 1 + x2=2

x!0

x!0 ex2 1 sin(x2)

cos x sin x e x

lim

ex2 p4

289.

lim

290.

1 + x2

sin x2

x!0

cos x e

lim

cos x2 p

lim

1 + x4

291.

292.

x2 sin x2

x!0

293.

lim

1 (cos x)sin x

294.

lim

x sin x x2

1 ex4

x!0

295.

lim

x ctg x

x!0 x

296.

x!0

lim

ln(1 + x)

297.

lim

esin x earctg x

298.

lim

2sin x 2arcsin x

x!0

sin3 x

x!0

arcsin3 x

1 x

299.

lim

3cos x 3

300.

lim

e1+sin x e 1+2x

x!0

arctg3 x

x!0

301.

lim

earcsin x earctg x

x!0

arctg3 x

302.

lim

earctg x ln(1 + x) 1

x!0

arctg2 x

sin(sin x) xp3

303.

lim

1 x2

x!0

304.

lim

+ 2x + 1 + 4x 2

1 + 3x

x!0

+ p

lim

2e32x

305.

+ 2x

1 + 4x

x!0

lim

+ 2 ln(1 + x) e4x

306.

+ 4x

x!0

ln2(1 + x)

x + 4 3

307.

x + 1 +

x + 3 +

x +

lim

308.

x!1

sin x

309.

x!1

lim

x3 tg

310.

x!1

lim

2x3etg x1

2x3

2x2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151 Mб27Pravila_izdaniya_dokymentov.pdf
#
15.11.201973.22 Кб1Pravila_podgotovki_nauchnogo_doklada.doc
#
16.09.201971.68 Кб1pravo otveti 1-9.doc
#
10.11.201968.1 Кб3Pravovaya_statistika.doc
#
17.09.201985.5 Кб3pravo_voprosy_10-20.doc
#
13.02.2015462.4 Кб821predely_efimov_znamenski.pdf
#
03.08.2019142.85 Кб1Problemy_zarubezhnoy_filologii.doc
#
12.03.2016837.12 Кб11Professionalnye_eticheskie_predstavlenia_v_monografii.doc
#
20.09.201988.58 Кб3prognoz_i_ego_mesto.doc
#
13.02.2015155.65 Кб4Programma_konferentsii_23_10_2014.doc
#
13.02.2015180.67 Кб13progr_dm.pdf