Абанин, Калиниченко. Целые функции

|π(z)|. Доказательство проведем для случая p N, оставив случай p = 0 для читателя.

Как отмечалось в 13 всегда p 6 τπ 6 p + 1, причем τπ = p + 1, åñëè

n=1

Последнее означает, что ρπ 6 τπ. Учитывая следствие из теоремы 14.1, получаем требуемое. B

Из доказательства теоремы 15.1 вытекает

Теорема 15.2. Если последовательность комплексных чисел (an)∞n=1 такова, что a1 6= 0, |an| ↑ +∞, и показатель τ ее сходимости является

тип при порядке

C В рассматриваемом случае τ = p + 1, а поэтому если θ = τ, то для любого z C

|π(z)| 6 exp (b|z|τ ) ,

откуда получаем требуемое. B

В случае, когда τ является нецелым числом, сведения о величине типа канонического произведения можно извлечь из верхней плотности множества нулей функции π(z). Введем это понятие.

Определение 15.1. Пусть нули целой функции f порядка ρ (0, ∞)

образуют последовательность (an)∞n=1, ãäå a1 6= 0, |an| ↑ +∞ и каждый нуль выписан столько раз, какова его кратность. Величину

называют верхней плотностью множества нулей функции f. Åñëè ñó-

ческое произведение, соответствующее этой последовательности, имеет максимальный, минимальный или нормальный тип в зависимости от того, будет ли равна бесконечности, нулю или конечному, отличному от нуля, числу верхняя плотность множества нулей функции π(z).

Определение 15.2. Обозначим через nf (r) количество отличных от нуля нулей функции f, лежащих в круге {z : |z| 6 r}. Функцию

называют считающей функцией нулей функции f.

C Пусть отличные от нуля корни функции f образуют последова-

тельность (an)∞n=1 Без ограничения общности считаем, что |an| ↑ +∞ и что каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность. Возь-

мем произвольное r > |a1| и обозначим через m = m(r) такой номер, что

|am| 6 r < |am+1| .

Очевидно, что m = nf (r), а поэтому

=1

ε > 0 r0(ε) : r > r0 ln |π(z)| > −rρ+ε . B

Замечание. Оценка снизу (16.1) модуля канонического произведения получена при достаточно больших r вне системы исключительных

кружков {z : |z − ak| < |ak|−h}, ãäå h > 0, k N. Число h > 0 можно

X∞

подобрать так, чтобы |ak|−h < ∞ (например, взяв h > ρ). Â ýòîì ñëó-

k=1

чае сумма диаметров кружков рассматриваемой системы конечна. Поэтому существует неограниченно расширяющаяся система окружностей

|z| = Rn, n N, на которой справедлива оценка (16.1). B

Теорема 16.1 (Адамар). Целая функция f конечного порядка ρ представима в виде

+∞) ее отличные от нуля корни; sk их кратности; P (z) многочлен степени q 6 ρ.

C Из определения показателя сходимости числовой последовательности и теоремы 14.1 следует, что последовательность нулей целой функции f конечного порядка (с учетом их кратностей) удовлетворяет условию

(12.1). Поэтому функция f имеет представление (12.3):

f(z) = zmeg(z)π(z) ,

ãäå g H(C). Покажем, что g многочлен степени q 6 ρ.

Как уже отмечалось, существует неограниченно расширяющаяся система окружностей |z| = Rn : Rn ↑ +∞, на которой справедлива следующая оценка снизу модуля канонического произведения, построенного по последовательности нулей функции f:

выше целой части [ρ + 2ε] при любом ε > 0, а значит, q 6 [ρ], что завершает доказательство теоремы. B

Заметим, что так как τπ > p (ãäå p род канонического произведения π(z)), то всегда ρ > max{p, q}.

Следующий результат уточняет теорему Адамара и является итоговой теоремой о разложении целой функции конечного порядка в бесконечное произведение.

Теорема 16.2 (Борель). Пусть f целая функция конечного порядка ρ и τ показатель сходимости последовательности ее нулей (ak)∞k=1 : |ak| ↑ +∞, a1 6= 0, sk кратность нуля ak, k N. Тогда функция f представима в виде (16.2), где m кратность нуля f в начале координат (m > 0) и P (z) многочлен степени q, причем ρ = max{τ, q}.

строенного по последовательности нулей (ak)∞k=1 функции f, равен τ (см. теорему 15.1). Поэтому из (16.2) находим: ε > 0 r0 = r0(ε) : r > r0

58 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

ãäå a > |aq| è aq коэффициент при старшей степени полинома P (z). Отсюда ρ 6 max{τ, q}. Так как по теореме 14.1 τ 6 ρ, а по теореме 16.1 q 6 ρ, òî max{τ, q} 6 ρ. Следовательно, ρ = max{τ, q}. B

Следствие. Если порядок ρ целой функции f является нецелым чис-

сти с разрезом по отрицатåльной вещественной полуоси, а функция

√

sin z целая. Поэтому sin(π z) аналитична в D. С другой стороны, ряд

X∞ (−1)nπ2n zn сходится абсолютно во всей плоскости, и, следовательно,

(2n + 1)!

n=0

его сумма S(z) целая функция. Кроме того,

По теореме единственности f(z) = S(z) â D. Следовательно, S аналитическое продолжение f из области D во всю комплексную плоскость. Отождествляя f с ее аналитическим продолжением S, можно считать,

÷òî X∞ (−1)nπ2n zn. Применив формулу вычисления порядка че-

(2n + 1)!

n=0

Последний результат можно также получить, рассматривая непосредственно функцию f(z) = sin(πz). Именно, функция f имеет порядок

ρf = 1, нули кратности sn = 1 в точках an, ãäå

Очевидно, что p = τ + 1. Отсюда, применив теорему Бореля, получаем, что функция f имеет представление

Учитывая изложенное, мы снова получаем (16.3).

Чтобы показать на примерах возможности применения теоремы Бореля, приведем без доказательства две теоремы относительно типа целой функции (доказательства их имеются, например, в [3] на с. 40 46; доказательство первой из них мы приведем позже в 19).