Абанин, Калиниченко. Целые функции

целая функция порядка ρ и минимального типа. Примером последова- тельностей {εn}∞n=0, удовлетворяющих указанным условиям, являются (при любом δ > 0)

функцией порядка ρ = 1 и минимального типа.

3. Наконец, построим пример целой функции порядка ρ и максималь-

íîãî òèïà (σf = +∞).

В данном случае тейлоровские коэффициенты {fn}∞n=0 должны быть

вию (9.3) удовлетворяет любая последовательность (ηn)∞n=1, для которой

lim ln ηn = 0.

n→∞ ln n

32ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Âчастости, ηn = (ln n)δ удовлетворяет требуемым условиям при любом δ > 0 .

Таким образом, примером целой функции ρ и максимального типа может служить

Упражнение 8. Построить целую функцию порядка ρ è òèïà σ в следующих случаях:

9.3. Классы целых функций В различных вопросах теории целых функций и ее приложений важную роль играют следующие классы

целых функций (предполагаем, что ρ (0, +∞), σ [0, +∞]):

1) [ρ, σ] класс всех целых функций, порядок которых либо меньше ρ, либо равен ρ, но тогда тип не превосходит σ, другими словами,

[ρ, σ] = {f H(C) : σf [ρ] 6 σ} ;

2) [ρ, σ) класс всех целых функций, порядок которых либо меньше ρ, либо равен ρ, но тогда тип меньше σ, òî åñòü

[ρ, σ) = {f H(C) : σf [ρ] < σ} ;

3) {ρ, σ} класс всех целых функций, порядка ρ è òèïà σ;

4)[ρ, 0) класс всех целых функций, порядок которых меньше ρ ;

5)[ρ, ∞) класс всех целых функций конечного типа при порядке ρ,

òî åñòü

[ρ, ∞) = {f H(C) : σf [ρ] < +∞} .

Очевидно, что [ρ, 0) [ρ, σ) [ρ, σ] [ρ, ∞) (как прежде ρ (0, +∞),

S

σ [0, +∞]). Кроме того, [ρ, σ] = [ρ, σ) {ρ, σ}.

Обозначения [ρ, σ] è [ρ, σ), по-видимому, были введены известным

российским математиком В.Л.Гончаровым.

Заметим, что функции из класса [1, ∞) называются обычно целыми

функциями экспоненциального типа (ÖÔÝÒ) .

В силу результатов § 8 классы [ρ, σ], [ρ, σ), [ρ, 0) è [ρ, ∞) векторные

пространства над полем комплексных чисел с естественными операциями (поточечного) сложения двух функций и умножения функции на комплексное число. Более того, они инвариантны относительно умножения на отличный от тождественного нуля многочлен.

и интегрирование ведется по любой спрямляемой кривой, соединяющей z0 с z C, имеет тот же рост, что и функция f.

34 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Глава 2. Факторизация целых функций

11. Представление целой функции по ее нулям

Xn

Если многочлен P (z) = akzk (an 6= 0) имеет нули (корни) в точках

k=0

z1, z2, . . . , zn0 кратности s1, s2, . . . , sn0 , соответственно, и P (0) 6= 0, òî

В связи с этим естественно возникают вопросы: 1) всякая ли целая трансцендентная функция имеет представление, в котором, как в (11.1), участвуют ее нули; 2) всякая ли последовательность комплексных чисел (ak)∞k=1 может быть последовательностью нулей некоторой целой функции? Эти вопросы изучаются в настоящем параграфе.

11.1. Представление функций, имеющих конечное число нулей. Нам потребуется следующая

C Зафиксируем произвольную точку z0 в области G и разложим функцию f в ряд Тейлора в круге D0 = {z : |z − z0| < ρ(z0, ∂G)} :

f(z) = f(z0) + X∞ f(k)(z0)(z − z0)k . k!

k=1

Òàê êàê f0(z) ≡ 0 â G, òî f(k)(z) = 0 ïðè âñåõ z G è k N.

Отсюда следует, что f(z) = f(z0) ïðè âñåõ z D0, а тогда по теореме единственности аналитической функции

f(z) = f(z0), z G . B

Теорема 11.1. Для того чтобы целая функция f не имела нулей во

всей комплексной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление

e 6= 0, w C. Следовательно, f(z) 6= 0, z C.

Необходимость. Пусть f H(C) è f(z) 6= 0, z C. Положим

h(z) = f0(z). ßñíî, ÷òî h H(C). По следствию из теоремы о диффе- f(z)

ренцировании интеграла с переменным верхним пределом (для аналити-

Zz

ческой функции) функция g1(z) := h(t)dt целая. Так как f(0) 6= 0, òî

0

можно выбрать круг Kε = {ω C : |ω − f(0)| < ε} настолько малого

Kε не пересекается либо с отрицательной, либо с положительной вещественной полуосью (в зависимости от положения точ-

промежутка (−π, π]. Åñëè D плоскость с разрезом по отрицательной

действительной полуоси, то, как известно, ln ω H(D); (ln ω)0 = ω1 è exp(ln ω) = ω ïðè âñåõ ω D. Выберем δ > 0 настолько малым, что из

|z| < δ следовало бы, что |f(z) −f(0)| < ε (это следует из непрерывности

f в точке z = 0). Пусть Mδ = {z : |z| < δ}. По теореме о суперпозиции

аналитических функций ln f(z) H(Mδ), è ïðè ýòîì (ln f(z))0 = f0(z) f(z)

Так как обе части (11.3) целые функции, то по теореме единственности равенство (11.3) справедливо всюду в C. Окончательно, f(z) = exp g(z),

ãäå g(z) = g1(z) + ln f(0). B

Замечание. Необходимую часть теоремы можно доказать иначе, подобрав по функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y) такую функцию g(z) =

U(x, y) + iV (x, y), что равенство (11.2) выполняется всюду на комплекс-

ной плоскости C. Подбор можно осуществить, используя следующие оче- видные равенства:

f(z) = eg(z) |f(z)| = eU(x,y) è arg f(z) = V (x, y)

(в этих соотношениях значения arg ω и arctg a берутся из промежутка (−π, π]). Учитывая, что f H(C), можно показать, что функции U(x, y) и V (x, y) дифференцируемы в любой точке (x, y) R2 (как функции двух

переменных). Затем следует убедиться, проведя непосредственную проверку, что они удовлетворяют уравнениям Коши Римана всюду в R2, òî

есть функция g(z) = U(x, y) + iV (x, y) дифференцируема (как функция комплексного переменного) на C и, значит, является целой.

Следствие 1. Если целая функция f не принимает некоторого зна- чения A C ни в одной точке комплексной плоскости, то

f(z) = A + eg(z) ,

где g целая функция.

Yn0

C Рассмотрим функцию ϕ(z) = f(z)/ (z − ak)pk . Используя пред-

k=1

ставление аналитической функции f в окрестности ее нуля, находим, что точки z = ak, k = 1, . . . , n0, являются устранимыми особыми для функции ϕ. При доопределении ϕ в точках z = ak ее предельными зна- чениями, получим, что ϕ целая функция, не имеющая в комплексной плоскости нулей. Применяя к функции ϕ теорему 11.1, заключаем, что ϕ(z) = exp g(z) всюду в C, где g H(C). Отсюда получаем требуемое представление (11.4). B

Эти результаты можно уточнить, воспользовавшись понятием порядка целой функции. Предварительно докажем две леммы.

Лемма 11.2. Если функция f аналитична в круге KR = {z C : |z| < R}, R (0, +∞), è Re f(z) 6 A â KR, то ее тейлоровские коэффи- циенты удовлетворяют неравенствам:

и, следовательно,

rn|bn| 6 2 Re b0 = 2 Re(A − f0)

ïðè âñåõ r (0, R) è n N. Наконец, поскольку bn = −fn при любом n N, òî

Переходя в последнем неравенстве к пределу при r → R, получим требуемое. B

Лемма 11.3. Если для целой функции f при некотором µ > 0 на

то f многочлен, степень которого не выше [µ].

C Òàê êàê Re f(reiϕ) функция, гармоническая в комплексной области C, то по принципу максимума гармонической функции

Отсюда, зафиксировав любое n > [µ] и увеличивая неограниченно k, получим требуемое. B

Следствие. Если для целой функции f при некоторых µ > 0, r0 > 0 и M > 0 выполняется условие

Re f(reiϕ) 6 Mrµ, r > r0, ϕ [0, 2π] ,

то f многочлен, степень которого не превосходит [µ].

Теорема 11.2. Если целая функция f порядка ρ (0, +∞) не имеет нулей, то ρ целое число и f(z) = eP (z), ãäå P многочлен степени ρ.

C Так как целая функция f не имеет нулей, то по теореме 11.1

f(z) = exp g(z), g H(C) .

Íî f имеет порядок ρ. Поэтому ε > 0 r0(ε) : r > r0(ε), ϕ [0, 2π]

| exp g(reiϕ)| 6 exp rρ+ε ,

òî åñòü Re g(reiϕ) 6 rρ+ε, r > r0, ϕ [0, 2π]. По следствию из леммы 11.3 g(z) многочлен степени q 6 ρ + ε, ε > 0. Следовательно,

q 6 ρ. Допустим,что q < ρ. Тогда функция f(z) = exp g(z) имела бы (см. пример 5 б)) порядок ρ = q, что противоречит исходному предложению. Итак, q = ρ. Поскольку q натуральное число, то ρ = [ρ]. B

Следствие. Если целая функция f порядка ρ (o, +∞) имеет конеч-

ное число нулей a1, a2, . . . , an0 кратностей p1, p2, . . . , pn0 соответственно, то ρ целое число и f имеет представление

Yn0

f(z) = (z − ak)pk · eg(z) ,

k=1

где g многочлен степени ρ.

Докажите этот результат самостоятельно.

11.2. Представление функций, имеющих бесконечное число нулей. Рассмотрим теперь случай, когда целая функция f отлична от

тождественного нуля и имеет бесконечное множество корней.

Согласно теореме единственности аналитической функции множество корней такой целой функции не может иметь конечных предельных то-

чек. Поэтому оно является дискретным в C и описывается такой после-

довательностью (bn)∞n=1, ÷òî |bn| ↑ +∞, òî åñòü (|bn|)∞n=1 неубывающая бесконечно большая последовательность.

Прежде всего выясним, существует ли целая функция f, последо-

вательность нулей которой совпадает с заданной последовательностью (an)∞n=1 отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности. Утвердительный ответ на этот вопрос дает теорема Вейерштрасса о построении целой функции с заданными нулями.

Сформулируем предварительно необходимые для дальнейшего сведения о сходимости функциональных бесконечных произведений (см., например, [2] с. 19-24).

Рассмотрим бесконечное произведение

Y∞

n=1

где функции un(z), n N, определены в области D, причем un(z) 6= −1 â D при каждом n N.

Произведение (11.6) называется сходящимся в области D, если в каждой точке z D сходится соответствующее числовое произведение. В

частности, используя известные результаты для бесконечных числовых произведений, получаем, что если

X∞

|un(z)| < ∞, z D ,

n=1

то произведение (11.6) сходится в области D.

Бесконечное произведение (11.6) называется равномерно сходящимся в области D (внутри области D), если последовательность частичных

произведений

Yn

pn(z) = (1 + um(z)), n N ,

m=1

равномерно сходится в области D (внутри области D).

Предложение 1 (достаточный признак сходимости в области). Если в области D

X∞

|un(z)| 6 an, n N è an < ∞ ,

n=1

то в области D произведение (11.6) сходится равномерно.

Предложение 2 (достаточный признак равномерной сходимости внутри области). Пусть D односвязная область, un(z), n

N аналитические функции в D. Если ряд

(при определенном выборе ветвей логарифма) равномерно сходится внутри области D, то произведение (11.6) равномерно сходится внутри

D.

Теорема 11.3 (Вейерштрасс). Какова бы ни была последователь- ность (an)∞n=1 комплексных чисел с единственной предельной точкой на

бесконечности, всегда существует целая функция f, нули которой совпа-

дают с элементами этой последовательности и только с ними. При этом кратность нуля функции f в точке z = ak такова, сколько членов, равных ak, имеет данная последовательность.