Абанин, Калиниченко. Целые функции

Лемма 22.5. Для того чтобы функция k(ϕ) была опорной функ-

цией некоторого выпуклого компакта, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

a) k(ϕ + 2π) = k(ϕ) , ϕ R;

á) ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 : ϕ1 6 ϕ2 6 ϕ3 , ϕ2 − ϕ1 < π , ϕ3 − ϕ2 < π

или (в развернутой форме)

k(ϕ1) sin(ϕ2 − ϕ3) + k(ϕ2) sin(ϕ3 − ϕ1) + k(ϕ3) sin(ϕ1 − ϕ2) 6 0 . (22.1)

C Необходимость. Пусть k(ϕ) опорная функция выпуклого компакта G C. Тогда для всех ϕ R

то есть условие а) выполнено.

Чтобы доказать условие б), зафиксируем три луча {z : arg z = ϕi}

(i = 1, 2, 3) так, чтобы ϕ1 < ϕ2 < ϕ3 è ϕ2 − ϕ1 < π, ϕ3 − ϕ2 < π. Проведем опорную прямую lϕ2 компакта G в направлении ϕ2 и возьмем его опорную точку z0 = x0 + iy0 в данном направлении. Напомним, что эта точка принадлежит G и удовлетворяет равенству

ϕ1 6 ϕ2 6 ϕ3, совпадают, то условие б) выполнено автоматически (в

данном случае неравенство (22.1) превращается в равенство). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть функция k(ϕ) удовлетворяет условиям а) и

б). Докажем существование выпуклого компакта, для которого k(ϕ) ÿâ-

[0,2π]

Множество G является замкнутым ограниченным и выпуклым, то есть

sin(ϕ1 − ϕ3) è sin(ϕ2 − ϕ1) > 0, затем сложим и получим (как и при доказательстве необходимости), что

k(ϕ1) sin(ϕ3 − ϕ2) + k(ϕ2) sin(ϕ1 − ϕ3) + k(ϕ3) sin(ϕ2 − ϕ1) < 0 ,

что противоречит условию (22.1).

Следовательно, отрезок [a, b], лежащий на lπ

2 , не пуст и каждая его точка принадлежит полуплоскости Πϕ, задаваемой неравенством

x cos ϕ + y sin ϕ 6 k(ϕ), при каждом ϕ [0, 2π]. Поэтому G 6= . Наконец, покажем, что k(ϕ) опорная функция множества G. В силу

Лемма доказана. B

Свойство (22.1) функции имеет специальное название, которое нам будет удобно привести в несколько более общем виде.

Определение 22.1. Пусть ρ (0, +∞). Функция h(ϕ), ϕ R, удовлетворяющая условию

h(ϕ1) sin ρ(ϕ2 − ϕ1) + h(ϕ2) sin ρ(ϕ3 − ϕ1) + h(ϕ3) sin ρ(ϕ1 − ϕ2) 6 0

π

при любых ϕ1 6 ϕ2 6 ϕ3: ϕ3 −ϕ1 < ρ , называется ρ-тригонометрически выпуклой функцией. Ïðè ýòîì 1-тригонометрически выпуклые функции называют просто тригонометрически выпуклыми.

Следствие. Опорная функция kG(ϕ) выпуклого компакта G является тригонометрически выпуклой функцией.

Лемма 22.6. Опорная функция kG(ϕ) выпуклого компакта G непрерывна на [0, 2π].

C Зафиксируем ϕ1 è ϕ2 èç [0, 2π]. Пусть z1 точка компакта G такая,

тельно, kG(ϕ2) − kG(ϕ1) 6 A · e−iϕ2 − e−iϕ1 .

Если во всех точках z0 границы ∂D области D выполнено неравенство

lim |f(z)| 6 M, то будем говорить, что |f(z)| 6 M на границе области

z→z0

D.

Заметим, что для аналитических в ограниченной области D функций

принцип максимума модуля может быть сформулирован так:

• Если |f(z)| 6 M на границе области D, то |f(z)| 6 M в D.

В данном параграфе мы рассмотрим принцип Фрагмена Линделефа для функций, аналитических в неограниченных областях специального вида.

тотической оценке

|f(z)| < e|z|ρ ,

и на сторонах угла |f(reiα)| 6 M è |f(reiβ)| 6 M. Тогда |f(z)| 6 M при всех z D.

Òàê êàê cos ρ1ϕ > 0, òî e|z|ρ−δ|z|ρ1 cos ρ1ϕ → 0 ïðè |z| → +∞. Поэтому при |z| = R > Rδ будет выполнятся неравенство

|wδ Reiθ | 6 M , θ (−ϕ , ϕ) .

Применяя принцип максимума модуля к аналитической функции wδ внутри сектора G1 = {z C : |z| 6 R , | arg z| 6 ϕ}, заключаем, что

|wδ(z)| 6 M , z int G1.

получаем отсюда утверждение теоремы. B

Из теоремы 23.1 непосредственным образом вытекает следующее утверждение.

Теорема 23.3. Если модуль целой функции f, имеющей порядок

не выше ρ (0, +∞), ограничен на сторонах некоторого угла раствора πα (0 < α < ρ1) с вершиной в начале координат постоянной M, то он

(модуль) ограничен той же постоянной и внутри угла.

Из теоремы 23.3 следует, что если из начала координат проведена система лучей, делящая плоскость на углы раствора меньше, чем πρ êàæ-

äûé (ρ > 12), то, по крайней мере, на одном из этих лучей модуль целой транцендентной функции f порядка не ниже ρ должен быть неограни-

ченным. Допуская противное, мы получили бы по теореме 23.3, что f

ограничена в каждом из углов между соседними лучами и, следователь-

но, ограничена во всей комплексной плоскости, что невозможно, если f 6= const. Для целой функции f 6= const порядка 0 < ρ < 12 или поряд- êà ρ = 12 и минимального типа заключаем на основании теоремы 23.3, что она является неограниченной на каждом луче, выходящем из начала

координат.

Для целых функций порядка ρ = 12 è òèïà σ > 0 последнее утверждение уже не имеет места. Это показывает пример функции

Она является целой (если доопределить ее в нуле предельным значением

1

σ), имеет порядок ρf = 2 è òèï σf = σ > 0. При этом она стремится к

98 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

íóëþ ïðè z → ∞ íà ëó÷å {z : arg z = 0}, и, следовательно ограничена на нем, но не является ограниченной в C.

24. Индикатор целой функции

Пусть f H(C). Функция Mf (r) характеризует рост целой функции f во всей плоскости. Однако она не дает сведений о том, как ведет себя

функция в той или иной неограниченной области, например, в некотором угле в вершиной в начале координат.

Итак, существуют два угла, каждый раствора π (правая и левая по-

луплоскости) такие, что в углах, лежащих вместе со сторонами внутри одного из них, функция стремится к ∞, а внутри другого к нулю.

Для более детального изучения поведения целых функций вводят характеристику их роста на каждом из лучей, выходящих из начала координат, ее индикатор.

Определение 24.1. Пусть f H(C) имеет конечный (ненулевой) порядок ρ (0, +∞). Функция

называется индикатором (èëè индикатрисой) роста целой функции f.

Заметим, что индикатор указывает лишь верхнюю границу роста модуля функции по каждому лучу. Если при некотором ϕ [0, 2π] ñóùå-

ствует предел, то можно выписать асимптотическое равенство для функции ln |f(reiϕ)| ïðè r → +∞ .

Отметим также, что понятие индикатора для целой функции нулевого порядка не используется, поскольку в данном случае индикатор не дает никакой дополнительной информации о поведении функции.

Пример 13. Найти индикаторы роста следующих целых функций:

Построим график индикатрисы роста hf (ϕ) функции f(z) = ez â ïî- лярной системе координат (r, ϕ), то есть график функции r = hf (ϕ). Ïðè ýòîì, åñëè hf (ϕ) < 0, то значение |hf (ϕ)| откладывается на про-