Абанин, Калиниченко. Целые функции

зависит от того, по какому контуру, охватывающему Df , ведется инте- грирование. Поэтому в качестве C выберем окружность {t : |t| = R}, ãäå

R > σ, à σ тип (при порядке ρ = 1) функции f.

Следствие. Если f [1, +∞) и hf (ϕ) индикатор f (при порядке ρ = 1), то для всех ϕ [0, 2π]

C Рассмотрим интегральное представление функции f, взяв в каче- стве контура интегрирования Cδ границу компакта Df + Kδ, ãäå δ > 0

ãäå l(Cδ) длина контура Cδ.

Функция Re(teiϕ) является гармонической в C по переменной t при фиксированном ϕ [0, 2π]. Поэтому, применив принцип максимума гармонической функции и лемму 22.1, имеем

124 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

называется интегралом Лапласа от функции f ïî ëó÷ó lϕ0 .

Лемма 28.2. Пусть функция f непрерывна на луче lϕ0 (ϕ0 [0, 2π]) и существуют числа B > 0 и a R такие, что для всех z lϕ0 справед- ливо неравенство

Тогда в полуплоскости

Πaϕ+0 δ = {t C : Re(teiϕ0 ) > a + δ} ,

где δ > 0 произвольно, интеграл Лапласа (28.3) сходится, представляет собой аналитическую функцию и имеет оценку

принадлежит lϕ0 , òî åñòü z = reiϕ0 , r [0, +∞). Согласно (28.4) имеем

f(z)e−zt = |f(z)|e− Re(zt) 6 Bea|z| · e−|z| Re(teiϕ0 ) 6

6 Bear−(a+δ)r = Be−δr ,

ïðè âñåõ r > r0, то по лемме 28.1 несобственный интеграл (28.3) сходится

0 = |a0| < |a1| < . . . < |an| < . . . , |an| → +∞ .

|In(t)| 6 Bδ e−δ|an| < ε ,

откуда следует, что In(t) 0 на полуплоскости Πaϕ+0 δ, èëè, ÷òî îäíî è òî же, что функциональная последовательность

Πϕ0 . Доказательство проведем с помощью слевытекает из теорем Монтеля и Витали,

ñì. [5] , ò.1, ñ. 368-372).

Утверждение*. Пусть (ϕn(z))∞n=1 последовательность функций, аналитических в области G, равномерно ограниченная внутри G, то есть

для любого компакта K G имеется такое M > 0, что |ϕn(z)| 6 M ïðè âñåõ z K è n N. Åñëè (ϕn(z))∞n=1 сходится на некотором множестве D G, имеющем хотя бы одну предельную точку, принадлежащую G,

òî (ϕn(z))∞n=1 сходится равномерно внутри G.

По условию функция f(z) непрерывна на луче lϕ0 . Поэтому функция

f(z)e−zt непрерывна на отрезке [ 0, |an|eiϕ0 ] ëó÷à lϕ0 для любого t Πaϕ+0 δ. По определению криволинейного интеграла от непрерывной функции

по спрямляемой кривой для любого фиксированного n N функция

e

Fn(t) является пределом интегральных сумм, составленных по функции

является аналитической в полуплоскости

Πhϕf0(ϕ0) := {t C : Re (teiϕ0 ) > hf (ϕ0)} .

C Фиксируем ε > 0. По определению индикатора целой функции существует такое r0 = r0(ε) > 0, ÷òî ïðè âñåõ r > r0

резке [0, r0eiϕ0 ], лежащем на луче lϕ0 , то существует такое D > 1, ÷òî

29. Интегральное представление функции, ассоциированной по Борелю. Теорема Полиа

Теорема 29.1. Пусть f {1, σf } è hf (ϕ) индикатор f. Тогда функ- öèÿ Fϕ0 (t) (ϕ0 [0, 2π]) является аналитическим продолжением функ-

X

k=n+1

вать как целую функцию нулевого типа при порядке ρ = 1, то согласно лемме 28.2 интегралы Лапласа

литическими функциями. Более того, учитывая произвольность δ > 0,

получаем, что эти функции аналитичны в полуплоскости Π0ϕ0 . Функция Rn(z) имеет тот же рост, что и f(z), поэтому Rn {1, σf }

=n+1

Используя неравенство Коши для тейлоровских коэффициентов функции f

Далее, по определению типа целой функции для любого ε > 0 существует такое D = D(ε) > 0, ÷òî

Mf (2|z|) 6 De2(σf +ε)|z| ,