Абанин, Калиниченко. Целые функции

Замечание. Теоремы 6.1 и 6.2 позволяет заменить в определениях порядка и типа максимум модуля на максимальный член.

Например, пусть

f := {µ > 0 : ln µf (r) 6 rµ , r > r0(µ)} .

Очевидно, если µ f è µ0 > µ, òî µ0 f . Поэтому f промежуток âèäà [af , +∞) èëè (af , +∞), ãäå af = inf{µ : µ f }. При этом, полагаем af := +∞, åñëè f = .

В силу теоремы 6.1 Bf f , ãäå, êàê è âûøå,

Bf := {µ > 0 : ln Mf (r) 6 rµ , r > r0(µ)} .

Поскольку Bf = [ρf , +∞) èëè (ρf , +∞), òî (ρf , +∞) (af , +∞). Далее, если µ (af , +∞), то согласно теореме 6.2 при r > r0(µ) имеем

Значит, ln Mf (r) = o(rµ0 ) ïðè r → +∞, ãäå µ0 > µ произвольно. Следовательно, все µ0 > µ содержатся в Bf . Отсюда заключаем, что

(µ, +∞) Bf и, следовательно, (af , +∞) Bf [ρf , +∞).

Èòàê, (ρf , +∞) (af , +∞) [ρf , +∞). Поэтому ρf = af (ýòî ðà- венство справедливо как для функций конечного, так и для функций бесконечного порядка). Таким образом, ρf = inf{µ : µ f } èëè

Упражнение 5. Докажите, что тип σf целой функции f конечного ненулевого порядка ρf вычисляется по формуле

7. Связь роста целой функции со скоростью убывания ее тейлоровских коэффициентов

Теоремы 6.1 и 6.2 позволяют охарактеризовать рост целой функции через скорость убывания ее тейлоровских коэффициентов. Приведем вначале некоторые вспомогательные результаты.

Пусть H(r) неотрицательная на [r0, +∞), r0 > 0, функция, для которой

Последнее обстоятельство позволяет ввести функцию, двойственную по Юнгу с H (u):

H (r) = sup[ur − H (u)] (r > 0) .

u>0

7. СВЯЗЬ РОСТА ФУНКЦИИ С УБЫВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТОВ 23

Выясним взаимосвязь между H (r) è H(r).

Òàê êàê H (u) > ur − H(r), r > r0, u > 0, òî ur − H (u) 6 H(r),r > r0, u > 0.

Поэтому r > r0

H (r) = sup[ur − H (u)] 6 H(r) .

u>0

Не всегда H (r) = H(r). Тем не менее, для широкого класса функций H имеет место

Теорема 7.1. Пусть функция H непрерывно дифференцируема на промежутке [r0, +∞) è H0(r) возрастает на нем. Тогда H (r) ≡ H(r) на [r1, +∞), ãäå r1 > r0 некоторое фиксированное число.

CВ силу условия (7.1) для любого u > 0

Поэтому с учетом непрерывности H(r) íà [r0, +∞) заключаем, что функция ur − H(r) при каждом фиксированном u > 0 достигает на [r0, +∞) своей точной верхней границы, то есть в некоторой точке r = r(u) èç

[r0, +∞)

ur(u) − H(r(u)) = sup[ur − H(r)] = H (u) .

r>r0

Нетрудно видеть, что при достаточно больших u точка r(u) попадает в интервал (r0, +∞). В самом деле, иначе бы существовала после-

такое, что r(u) (r0, +∞) ïðè u > u1. Значит, при u > u1 точка r(u) точка локального максимума функции ur − H(r), и в ней необходимо

0 = (ur − H(r))0 = u − H0(r) .

Таким образом, при u > u1 число r(u) решение уравнения

По условию непрерывна и возрастает на [r0, +∞). Поэтому существует обратная к ней функция, определенная на [H0(r0), +∞). ßñíî, ÷òî

íà [u1, +∞) она совпадает с r(u).

Зафиксируем r > r1 = r(u1) и положим u = H0(r). Тогда u r − H(r) = H (u) .

7. СВЯЗЬ РОСТА ФУНКЦИИ С УБЫВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТОВ 25

Отсюда

Тогда ln µf (r) 6 H(ln r) + C1 ïðè âñåõ r > er0 , то есть выполнено (7.4).

B

C Для доказательства достаточно воспользоваться леммой 7.1 и примером 6, положив в них H(r) = τeγr . B

Теперь мы можем установить основные результаты настоящего параграфа.

n ln n

C Положим γf = lim ln 1 . Òàê êàê fn → 0 ïðè n → ∞, òî

n→∞

|fn|

1

ln |fn| → +∞ ïðè n → ∞ (при этом мы считаем, что если fn = 0, òî

Возьмем любое γ > γf (åñëè γf < +∞) è γ1 (γf , γ). Тогда имеется такое N2 > N1, что при любом n > N2

По следствию из леммы 7.1 существуют такие C1 > 0 è r1 > 0, ÷òî ln µf (r) 6 rγ1 + C1 ïðè âñåõ r > r1. Òàê êàê rγ1 + C1 = o(rγ) ïðè r → +∞, то имеется r0 > r1, для которого ln µf (r) 6 rγ ïðè âñåõ r > r0. Отсюда

следует, что ρf 6 γ, и в силу произвольности γ > γf имеем, что ρf 6 γf .

Èòàê, åñëè γf < +∞, òî ρf 6 γf и, в частности, ρf < +∞. A åñëè ρf < +∞, òî γf 6 ρf и, в частности, γf < +∞. Значит, γf = +∞ тогда и только тогда, когда ρf = +∞, è γf = ρf , если хоть одна из этих величин конечна. Таким образом, γf = ρf для любой целой функции. B

Упражнение 6. Докажите следующее утверждение.

X∞

Указание. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 7.2.

Доказательство этого утверждения аналогично первой части доказательства теоремы 8.1. Мы предоставляем его читателю.

Следствие. Умножение целой функции на отличный от тождествен-

ного нуля многочлен не изменяет ее порядка.

Более точные утверждения о росте произведения целых функций будут получены позднее.

9. Построение целой функции заданного роста. Классы целых функций

9.1. Построение функции заданного порядка. Прежде всего по-

ρ [0, +∞), имеется целая функция f,

порядок которой равен ρ.

X∞ zn

то согласно формуле (7.6) f имеет порядок ρ.

2. Пусть ρ = 0. Простейшим примером целой функции нулевого порядка является многочлен (см. § 5).

Построим теперь целую трансцендентную функцию нулевого поряд-

ïðè n → ∞ èëè |fn| = n−n/εn , ãäå εn → +0 ïðè n → ∞.

n=1

функция (проверьте) нулевого порядка, являющаяся трансцендентной.

3. C примером целой функции бесконечного порядка мы уже встре- чались, рассматривая функцию eez . Теперь построим целую функцию f

ñ ρf = +∞ по ее тейлоровским коэффициентам {fn}∞n=0. В этом случае они должны удовлетворять условию

lim n ln n = +∞ .

n→∞ ln 1 |fn|

тейлорîâñкие коэффициенты целой функции, то необходимо, чтобы

удовлетворяют требуемым условиям. Таким образом, например, функ-

является целой и имеет бесконечный порядок.

9.2. Построение функции заданного типа. Теперь покажем, что каковы бы ни были число ρ (0, +∞) и величина σ [0, +∞], существует

X∞

целая функция f(z) = fnzn, порядок которой равен ρ, à òèï σ.

äîê ρ è òèï σ (проверьте, пользуясь формулами (7.6) и (7.7)).

2. Построим целую функцию порядка ρ и минимального типа. Со-