Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Абанин, Калиниченко. Целые функции

.pdf

Скачиваний:

154

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

811.94 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПО НУЛЯМ

Без ограничения общности будем считать, что an 6= 0 ïðè âñåõ

è ÷òî

| ↑

∞

. Åñëè áû a1

= a2 = . . . = an0 = 0, òî ìû

, которая уже не имеет нулей

рассмотрели бы функцию ϕ(z) = f(z)/zn0

в точке z = 0.

Возьмем последовательность (pn)n∞=1 неотрицательных целых чисел,

для которой ряд

∞

pn+1

(11.7)

n=1

сходится при любом R > 0. В качестве такой последовательности можно,

например, взять числа pn = n − 1, n N.

Положим

åñëè

G(u, p) =

(1 − u) exp

, åñëè p N ;

u +

+ . . . +

−

p = 0 .

Функции G(u, p) называются первичными множителями Вейерштрас-

ñà.

Рассмотрим бесконечное произведение

∞	azn , pn .
Y
n=1 G		(11.8)


Заметим, что если u лежит в единичном круге {u :							\|u\| < 1}, òî äëÿ
главной ветви ln w многозначной функции Ln w будем иметь
	u2		up		up+1			up+2
ln G(u, p) = ln(1 − u) + u +		+ . . . +		= −		−			+ . . . .
	2		p		p + 1			p + 2

Для данного R > 0 найдем такой номер N = N(R), ÷òî |an| > 2R ïðè âñåõ n > N. Тогда при n > N

ln G an , pn 6 an

pn+1

pn + 1 + an

pn+2

pn + 2 + . . . 6

k=0

6 an

k=0

= 2

pn+1 ∞

pn+1

| |

Отсюда и из сходимости ряда (11.7) следует, что ряд

n=N ln G azn , pn

∞

сходится абсолютно и равномерно в круге KR

{z :

|z| < R} ê

следовательности (an)∞n=1, которые попали в к аналитической функции

42			ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
некоторой функции gR(z). Поскольку функции G							z	, pn	целые и при

n > N не имеют нулей в круге KR, òî ïðè						an				n
				любом таком							функция

ln G	z	, pn	аналитична в круге KR, и поэтому		gR H(KR). Тогда
	an
согласно предложению 1 бесконечное произведение								∞
							n=N G azn , pn ñõî-
							Y
дится равномерно в KR, а его значение fR(z) :=							exp gR(z) аналитич-

íî â KR. Заметим, что функция fR не имеет нулей в KR (см. теоре- му 11.1). Таким образом, бесконечное произведение (11.8) сходится в области KR0 := KR \ {ak : k = 1, . . . , N1}, ãäå a1, . . . , aN1 те точки из по- KR (очевидно N1 6 N − 1),

f(z) := fR(z) k=1 G ak , pk		(z KR0 ) .	(11.9)
N1
Y	z

Правая часть (11.9) аналитична в KR и равна нулю в точках ak ïðè k = 1, . . . , N1, и только в них. Доопределив f(z) нулем в этих точках

получим, что f(z) = k=1 G ak , pk		является аналитической в KR ôóíê-
∞	z
Y

цией, обращающейся в нуль в точках ak (k = 1, . . . , N1) и только в них, то есть в тех и только в тех точках из последовательности (ak)∞k=1, которые

попали в KR. Òàê êàê R можно взять как угодно большим, то функция
k=1 G ak , pk
∞	z
Y		является целой и имеет нули в точках ak (k N) è
f(z) =

только в них. B

Из теоремы 11.3 непосредственно получаем следующее утверждение.

Теорема 11.4. Если целая функция f имеет нули в начале координат

кратности m и в точках z = an (n N), соответствующих кратностей sn, то она допускает следующее представление:

Y∞

f(z) = zmeg(z) Gsn z , pn , (11.10)

n=1 an

ãäå g H(C), pn целые неотрицательные числа, подобранные так,

чтобы ряд	∞		R		pn+1

	X				(11.11)
		\|		\|
	n=1 sn	an

сходился при любом R > 0.

12. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕЙЕРШТРАССА	43
C Ясно, что сходимость ряда (11.11) эквивалентна сходимости ря-
да (11.7), соответствующего последовательности нулей функции	f, â êî-

торой каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность.

Поэтому функция

ϕ(z) := zm Y∞ G z , pn

n=1 an

является целой и имеет нули в тех же точках, что и функция f, причем той же кратности. Следовательно, функция ψ(z) := f(z)/ϕ(z), доопреде-

ленная в точках 0, a1, a2, . . . своими предельными значениями, является целой и не имеет нулей в C. По теореме 11.1 ψ(z) = exp g(z), ãäå g H(C),

и представление (11.10) доказано. B

12. Каноническое произведение Вейерштрасса

Заметим, что при построении целой функции, нули которой совпада- ют с последовательностью (an)∞n=1, отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности (см. теорему 11.3), последовательность {pn}∞n=1 можно выбирать различными способами. А

значит, представление (11.10) (и, в частности, функция g) зависит существенно от выбора этой последовательности. Покажем, что представление (11.10) можно упростить, если нули an функции f и их кратности sn (n N) удовлетворяют дополнительному условию:

∞		sn
X					< ∞ .	(12.1)
X	\|	an	\|	α+1
α [0, +∞) :		an		α+1
n=1

Пусть γ натуральное число или нуль такое, что

∞		sn
X					< ∞
X	\|	an	\|	γ+1	< ∞
n=1

(существование такого числа обусловлено (12.1)). Тогда при любом R > 0

сходится ряд	∞		R			γ+1
	∞		R			γ+1
	X
	X	\|	an	\|
	n=1 sn		an		.

Следовательно, к функции f применима теорема 11.4, если положить pn = γ, n N. Обозначим символом p наименьшее из таких целых чисел γ. В силу (12.1) бесконечное произведение

∞	azn , p
Y
n=1 Gsn		(12.2)

44	ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

определяет целую функцию π(z), которая называется каноническим про-

изведением Вейерштрасса (или просто каноническим произведением). Само число p называется родом канонического произведения (12.2).

Согласно теореме 11.4, при выполнении условия (12.1) целая функция f, имеющая нуль в начале координат кратности m и нули в точках

z = an (n N) соответствующих кратностей sn, допускает следующее представление

f(z) = zmπ(z)eg(z) ,

(12.3)

ãäå g H(C). В случае, когда функция g является многочленом степени q, функцию f называют целой функцией конечного рода, а число max{p, q} åå родом. Если нули функции f не удовлетворяют условию (12.1) или если g из представления (12.3) является трансцендентной функцией, род функции f считают бесконечным.

Заметим, что если нули функции f образуют последовательность

(an)∞n=1 (нули выписаны в порядке увеличения их модулей и каждый нуль выписан столько раз, какова его кратность; порядок нумерации нулей с одинаковым модулем безразличен), то условие (12.1) принимает вид

∞			1
X					< ∞ ,
X	\|	an	\|	α+1
α [0, +∞) :		an		α+1
n=1

а каноническое произведение (12.2)

n=1 G azn , p	,
∞
Y

с некоторым p N {0}.

13. Показатель сходимости числовой последовательности

Пусть (an)∞n=1 последовательность комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности, причем (|an|)∞n=1 не убывает и

a1 6= 0. С целью характеризации скорости возрастания такой последовательности введем следующее

Определение 13.1. Показателем сходимости последовательности

(an)∞n=1 называется величина

∞		1
X					< ∞} .	(13.1)
X	\|	an	\|	α
τ = inf{α > 0 :		an		α
n=1

13. ПОКАЗАТЕЛЬ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 45

∞		1
X
X	\|	an	\|	α расходится при любом α > 0, показатель
В случае, когда ряд		an		α расходится при любом α > 0, показатель
n=1					)∞		+
сходимости последовательности (a					)∞	считается равным	+
					n n=1		∞

Очевидно, что, чем быстрее возрастает последовательность (|an|)∞n=1, тем меньше показатель сходимости.

Легко проверить, что для последовательности (en)∞n=1 показатель схо-

димости равен нулю, для (nτ1 )∞	(τ > 0) он имеет значение τ, à äëÿ
n=1
(ln(n + 1))n∞=1 равен +∞.							∞	1
							∞	1
Заметим, что при α, равном показателю сходимости, ряд
Заметим, что при α, равном показателю сходимости, ряд								an α
							n=1	an α
может как сходиться, так и расходиться в зависимости от последоваX \| \|-
тельности (an)n∞=1.							ρ1 )∞ , ãäå ρ
Например, последовательности (n		ρ1 )∞			è ( n ln2(n + 1)		ρ1 )∞ , ãäå ρ
				n=1			n=1
фиксированное положительное число, имеют один и тот						же показатель
фиксированное положительное число, имеют один и тот
∞	1
сходимости τ = ρ, причем ряд
сходимости τ = ρ, причем ряд	an τ для первой последовательности
n=1	an τ для первой последовательности
X \|			\|

расходится, а для второй сходится.

Теорема 13.1. Если (an)∞n=1 последовательность комплексных чи- сел с единственной предельной точкой на бесконечности, причем (|an|)∞n=1

не убывает и a1 6= 0, то ее показатель сходимости τ вычисляется по формуле

	ln n	.
τ = lim			(13.2)

n→∞ ln \|an\|

C Положим

ln n

lim

=: γ и допустим, что γ конечно. Тогда для

n→∞ ln |an|

ln n

любого ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), ÷òî

< γ + ε äëÿ

ln |an|

∞

âñåõ n > N. Отсюда

< n

γ+ε

ïðè âñåõ n > N, и, значит, ряд

an α

n=1

X | |

сходится при α > γ + ε. В силу произвольности ε > 0, он сходится при любом α > γ. Поэтому τ 6 γ. В частности, из того, что γ число, следует, что и τ число.

Предположим теперь, что τ конечно, и покажем, что γ также конечно

сходится. Так как его члены не возрастают, то			∞	1
сходится. Так как его члены не возрастают, то			X	\| \|
и не превосходит τ. Действительно, для любого			ε > 0 ðÿä
			n=1		an τ+ε
			n=1
lim	n	= 0		(13.3)


n→∞ \|an\|τ+ε

46			ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
(см. далее замечание к теореме). Поэтому существует такой номер N1,
÷òî	ln n	< τ + ε ïðè âñåõ n > N1. Переходя в этом неравенстве к
÷òî		< τ + ε ïðè âñåõ n > N1. Переходя в этом неравенстве к
пределу\| ïðè\|				, находим, что
	ln an		n → ∞
			n → ∞
						ln n	6 τ + ε .
					lim	ln n
					lim
				n→∞ ln \|an\|

В силу произвольности ε > 0 заключаем отсюда, что γ 6 τ. Сравнивая с неравенством, найденным выше, получаем

τ = γ = lim ln n .

n→∞ ln |an|

Так как величины τ è γ являются конечными одновременно, следовательно, они и в бесконечность обращаются одновременно. Поэтому установленное соотношение справедливо и для бесконечных значений τ è γ.

Замечание. Докажем, что наше заключение о справедливости (13.3)

X∞

было верным. Пусть положительный ряд	bn сходится и известно, что
	n=1

bn > bn+1 ïðè âñåõ n N. Тогда по критерию Коши ε > 0 N = N(ε) :m > N è p N выполняется неравенство

p
Xk	ε
bm+k <		.
bm+k <	2	.
=1

Полагая здесь p = m и замечая, что bm+1 + . . . + b2m > mb2m, получаем

2mb2m < ε ïðè m > N. Точно так же для p = m + 1 найдем bm+1 + . . . +

b2m+1 > (m + 1)b2m+1 > m + 2 b2m+1, откуда (2m + 1)b2m+1 < ε ïðè

m > N. Следовательно,

lim nbn = 0 ,

n→∞

что нам и требовалось установить.

Отметим еще следующую очевидную зависимость между показате-

лем сходимости τ последовательности (an)∞n=1 и родом p соответствующего канонического произведения π(z) = Y∞ G z , p :

n=1 an

τ − 1 6 p 6 τ èëè p 6 r 6 p + 1 .

13. ПОКАЗАТЕЛЬ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 47

Более того, если τ целое число и ряд

X∞ 1

n=1 |an|τ

(13.4)

сходится, то τ = p + 1, òî åñòü, p = τ − 1; åñëè æå τ		целое число
∞	\|	1
X	\|	\|
и ряд (13.4) расходится, то p = τ (поскольку ряд

n=1 an τ+1 сходится). Наконец, если τ не является целым числом, то p = [τ].

Пример 7. Найти показатель сходимости последовательности (an)∞n=1 и построить, если возможно, соответствующее каноническое произведе-

íèå.		1
		1		n	N. Поскольку ряд
1. Пусть ρ (0, +∞), an = nρ ,				n	N. Поскольку ряд
∞		1			∞	α
X					X	n− ρ
X	\|	an	\|	α =	X	n− ρ
n=1					n=1

сходится при любом α > ρ и расходится при α 6 ρ, то τ = ρ и p = [ρ].

В частности, если an = √

, òî τ = 2, p

= 2 и соответствующее

каноническое произведение имеет вид

∞

1 z2

π(z) = n=1 1 − √n

√n

2 n .

Åñëè æå ρ = 1

τ = 1 , p = 0, и каноническое произведение имеет

2 , òî

следующее представление

∞

π(z) = n=1 1 − n2

2. Пусть (a

)∞

такова, что a

−

k, a

2k−1

= k, k

. В этом случае,

n n=1

очевидно, τ = 1, и соответствующий ряд вида (13.4) расходится. Поэтому p = 1 и

1 −

∞

π(z) = k=1

1 −

1 +

e− k

= k=1

3. Пусть ρ (0, +∞) è an = (n ln2 n)ρ , n N \ {1}. ßñíî, ÷òî ðÿä

∞

| |

2α

an α

n=2

n ρ ln ρ n

48 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

сходится при любом α > ρ и расходится при α < ρ. Поэтому τ = ρ. Отсюда следует, что если ρ целое число, то p = ρ − 1. В частности, если ρ = 1, имеем τ = 1, p = 0 è

∞		z	.
π(z) = k=2	1 − k ln2 k		.
Y

Åñëè æå ρ = 2, òî τ = 2, p = 1	è	e	√k ln k .
π(z) = k=2	1 − √kzln k	e	√k ln k .
∞			z
Y

Наконец, в случае, когда ρ нецелое число, получаем τ = ρ, p = [ρ]. Òàê

ïðè ρ = 1	имеем	τ = 1	, p = 0 è
2	имеем	2	π(z) = k=2	1 − k2 ln4 k .
			π(z) = k=2	1 − k2 ln4 k .
			∞		z
			Y

4.Пусть ρ (0, +∞) è an = (ln n)ρ, n > 3. Очевидно, что в этом случае

τ= +∞, и по данной последовательности {an}∞n=3 нельзя построить ка-

нонического произведения. Однако из доказательства теоремы 11.3 следует, что бесконечное произведение

n=3

1 − lnρ n

exp lnρ n

+ . . . + n

lnρ n

∞

определяет целую функцию, имеющую нули в точках (ln n)ρ, n > 3, è

только в них.							∞
5. Пусть an = en, n N. Òàê êàê ðÿä							∞
5. Пусть an = en, n N. Òàê êàê ðÿä							e−αn сходится при любом
, òî		, откуда		è		n=1
, òî	τ = 0	, откуда	p = 0	è		X
α > 0	τ = 0		p = 0
				∞	1 − ezn .
			π(z) = n=1		1 − ezn .
				Y

Упражнение 9.

1. Пусть α > 0. Найти показатели сходимости последовательностей

(nα)∞	è	(n lnα n)∞
n=1		n=2

и построить, если возможно, соответствующие им канонические произ-

ведения.

2. Найти нули функции f(z) = eez − 1 и показать, что их последовательность не имеет конечного показателя сходимости.

14. РОСТ ФУНКЦИИ И ПОКАЗАТЕЛЬ СХОДИМОСТИ ЕЕ НУЛЕЙ 49

14. Связь роста целой функции с показателем сходимости последовательности ее нулей

Выясним, как связаны между собой порядок целой функции и показатель сходимости последовательности ее нулей.

Докажем прежде следующее утверждение, дающее оценку снизу для модуля аналитической в круге функции.

Лемма 14.1. Пусть функция f аналитична в круге |z| 6 R и f(0) = 1. Если в круге |z| < R она обращается в нуль, по меньшей мере, в точках

a1, a2, . . . , an, òî			Rn
	Mf (R) >		Rn			.		(14.1)
	Mf (R) >		\|an\| · . . . · \|an\|			.		(14.1)
C Рассмотрим функцию
ϕ(z) =	f(z)	, ãäå w(z) =		n	R(z − ak)				.
ϕ(z) =		, ãäå w(z) =		kY					.
					R2		−
	w(z)						−	zak
	w(z)			=1				zak
				=1
Функция w аналитична в круге			\|z\| 6 R и имеет нули в точках ak,

k = 1, . . . , n (других нулей в круге |z| 6 R у нее нет). Поэтому функ-

öèÿ ϕ, доопределенная в точках ak

(k = 1, . . . , n) своими предельными

значениями, аналитична в круге |z| 6 R.

|z| < R

|w| < 1

конформно круг

íà êðóã

, òî

Òàê êàê w(z) отображает iθ

Поэтому

Reiθ

f Reiθ

, θ [0, 2π]. Применив принцип мак-

симума модуля аналитической

функции,

получим

на границе этого круга

w Re

= 1,

[0, 2π].

|ϕ(z)| 6 Mf (R), z : |z| 6 R .

Отсюда, в частности, следует, что

|ϕ(0)| 6 Mf (R) .

На основании этого

f(0)

|ϕ(0)|

ϕ(0)

|ak|

M (R)

|a1| · . . . · |an|

R 6

w(0)

| ·

откуда, учитывая, что |f(0)| = 1, и получаем искомый результат:

Mf (R) > |a1| · . . . · |an| . B

Замечание. Нули функции f могут быть и кратными.

50 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Следствие. Если функция f, аналитическая в круге |z| 6 R, имеет в круге |z| < R нули по меньшей мере в точках a1, . . . , an è ak 6= 0 (k =

1, . . . , n), òî	Rn
Mf (R) > \|f(0)\|
		.	(14.2)
	\|a1\| · . . . · \|an\|

Теорема 14.1. Пусть целая функция f конечного порядка ρ имеет

бесконечное множество нулей (an)∞n=1, ãäå |an| ↑ +∞, a1 6= 0 и каждый нуль выписан столько раз, какова его кратность. Тогда показатель сходимости последовательности нулей не превосходит порядка этой функции.

CПо следствию из леммы 14.1, примененному к функции f в круге

{z : |z| 6 rn = 3|an|},

				(rn)n
			Mf (rn) > \|f(0)\|			> \|f(0)\| · 3n, n N .
			Mf (rn) > \|f(0)\|	\|a1\| · . . . · \|an\|		> \|f(0)\| · 3n, n N .
	Из определения порядка целой функции следует, что ε > 0 N0 :
n > N0				Mf (rn) < exp rnρ+ε .
Поэтому n > N0 имеем \|f(0)\| · 3n < exp rnρ+ε. Отсюда n > N1
				n ln 3 < rnρ+2ε .
				1			1
Тогда n > N1 имеем 3\|an\| > (n ln 3)					ρ+2ε		> n	ρ+2ε	. Из последних нера-
ìó		.	∞
ìó		.	X
венств следует, что ряд				\|an\|−(ρ+3ε) сходится при любом ε > 0, а поэто-
	τ 6 ρ		n=1
	τ 6 ρ		B

Следствие. Порядок канонического произведения, составленного по последовательности (an)∞n=1, не меньше показателя сходимости этой по-

следовательности.

Докажем следующее полезное для дальнейшего изложения утверждение.

Теорема 14.2. Пусть целая функция f порядка ρ (0, +∞) и конеч-

ного типа σ имеет бесконечное множество нулей (an)∞n=1, ãäå |an| ↑ +∞, a1 6= 0 и каждый нуль выписан столько раз, какова его кратность. Тогда

		n	6 σeρ.
	lim			(14.3)

n→∞ \|an\|ρ

C Положим rn := |an| è R := α · rn, ãäå α > 1. В круге |z| 6 R функция f имеет нули в точках a1, a2, . . . , an (у нее могут быть и другие

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.10.2018119.3 Кб8«Психологическая поддержка педагогов ДОУ как у....doc
#
12.03.201613.18 Кб36А.Т.Твардовский «Лес осенью»..docx
#
13.02.2015111.1 Кб9А.Щюц. Текст.doc
#
05.05.20191.1 Mб17А4 Тени по одной проекции.doc
#
21.11.2019211.46 Кб32Абакумова Фалометова Метод. разработка по работ...doc
#
13.02.2015811.94 Кб154Абанин, Калиниченко. Целые функции.pdf
#
13.02.2015400.9 Кб155Абрамян_1.doc
#
16.09.201943.37 Кб1Автоматизация.docx
#
26.08.2019304.13 Кб3Адаптация учащихся общеобразовательной школы.doc
#
05.08.201989.01 Кб16Аддитивная модель ряда динамики представляет со....docx
#
18.11.2019123.99 Кб5Адидас.docx