Абанин, Калиниченко. Целые функции

25. Основные свойства индикатора

Âданном параграфе приводятся основные свойства индикатора целой функции.

Теорема 25.1. Индикатор целой функции является 2πпериодической функцией.

C Утверждение следует из 2π-периодичности функции eiϕ B

Теорема 25.2. Индикатор целой функции не превосходит ее типа.

C Для доказательства достаточно заметить, что |f(reiϕ)| 6 Mf (r) ïðè âñåõ r [0, +∞) è ϕ [0, 2π]. B

Теорема 25.3. Если f целая функция порядка ρ (0, +∞) и нормального типа σ (при порядке ρ), то для ее индикатора справедливо соотношение

C Для доказательства воспользуемся теоремой 18.3 Вл. Бернштейна. Не нарушая общности, будем считать, что f(0) = 1. Рассмотрим в C следующую систему расширяющихся кругов: {z : |z| 6 Rn} (n N), ãäå R1 произвольное положительное число и Rn+1 = 2Rn (n N).

Применим к функции f в круге {z : |z| 6 R } (n N) теорему 18.3,

n

1

считая, что η 0, 16 . Получим, что в круге {z : |z| 6 Rn}, íî âíå

ãäå H(η) = 2 + ln 23ηe .

Поскольку сумма диаметров исключительных кружков в каждом

1

круге {z : |z| 6 Rn} (n N), меньше 2Rn = Rn − Rn−1, то в кольце

{z : Rn−1 < |z| < Rn} имеется окружность |z| = rn, на которой справед-

ливо неравенство (25.2).

Из определения типа целой функции следует, что

ε > 0 r0(ε) > 0 : Mf (r) < e(σ+ε)rρ , r > r0(ε) .

Поэтому для любого n > n0(ε) N

неотрицателен.

C Предположим, рассуждая от противного, что существует такой луч

{z : arg z = ϕ0}, ãäå ϕ0 [0, 2π], ÷òî hf (ϕ0) < 0.

Из определения индикатора следует, что существует такое r0 > 0, ÷òî äëÿ âñåõ r > r0

|f(reiϕ0 )| < 1 , r > r0. Учитывая непрерывность функции |f(reiϕ0 )| на отрезке [0, r0], получим, что функция |f(z)| ограничена на луче {z : arg z = ϕ0}, чего быть не может в силу принципа Фрагмена Линде-

Замечание. Теорема 25.4 уточняет теорему 25.3 в случае, если целая функция имеет порядок ρ 0, 12 .

Теорема 25.5. Пусть f и g целые функции порядка ρ (0, +∞). Тогда индикатор hf g(ϕ) (при порядке ρ) произведения f·g не превосходит суммы индикаторов этих функций при каждом ϕ [0, 2π], то есть

hf g(ϕ) 6 hf (ϕ) + hg(ϕ) , ϕ [0, 2π] .

C Известно, что f g H(C) и что категория произведения целых функций не превосходит наибольшей из категорий сомножителей. Далее

= hf (ϕ) + hg(ϕ) , ϕ [0, 2π] .B

Теорема 25.6. Пусть f и g целые функции порядка ρ (0, +∞).

Тогда индикатор hf+g(ϕ) (при порядке ρ) суммы f + g не превосходит наибольшего из индикаторов слагаемых при каждом ϕ [0, 2π], то есть

hf+g(ϕ) 6 max{hf (ϕ) , hg(ϕ)} , ϕ [0, 2π] .

C Известно, что порядок суммы целых функций f + g не превосходит

наибольшего из порядков слагаемых.

Пусть ϕ0 [0, 2π] и, например, hf (ϕ0) > hg(ϕ0). По определению индикатора целой функции ε > 0 r0 = r0(ε) > 0:

hf+g(ϕ0) 6 max{hf (ϕ0) , hg(ϕ0)}.

В силу произвольности выбора ϕ0 [0, 2π]

hf+g(ϕ) 6 max{hf (ϕ) , hg(ϕ)} , ϕ [0, 2π] . B

104 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Следствие. Пусть f и g целые функции порядка ρ (0, +∞). Если при некотором ϕ0 [0, 2π] их индикаторы удовлетворяют неравенству hf (ϕ0) > hg(ϕ0), òî hf+g(ϕ0) = hf (ϕ0).

C По теореме 25.6 hf+g(ϕ0) 6 max{hf (ϕ0) , hg(ϕ0)} = hf (ϕ0). Поскольку f = (f + g) + (−g) è h−g(ϕ) = hg(ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî

hf (ϕ0) 6 max{hf+g(ϕ0) , h−g(ϕ0)} = max{hf+g(ϕ0) , hg(ϕ0)} .

А так как, согласно условию, hf (ϕ0) > hg(ϕ0), то получаем, что

hf (ϕ0) 6 hf+g(ϕ0) .

Следовательно, hf+g(ϕ0) = hf (ϕ0). B

Отметим одно полезное для дальнейшего рассуждение. Рассмотрим тригонометрическую функцию

любого ϕ [ϕ1 , ϕ2]

то есть функция H(ϕ) однозначно определяется на отрезке [ϕ1 , ϕ2] ее значениями на концах этого отрезка.

C Определим числа a è b из системы

a cos ρϕ1 + b sin ρϕ1 = h1, a cos ρϕ2 + b sin ρϕ2 = h2 .

Поскольку определитель системы sin ρ(ϕ2 − ϕ1) 6= 0, то получаем

выражение для

Теорема 25.7. Пусть f целая функция порядка ρ (0, +∞) и

π

конечного типа σ. Если числа ϕ1 è ϕ2 таковы, что 0 < ϕ2 − ϕ1 < ρ ,

а числа h1 è h2 таковы, что для индикатора функции f справедливы неравенства hf (ϕ1) 6 h1 è hf (ϕ2) 6 h2, то для любого ϕ [ϕ1 , ϕ2] выполняется неравенство

hf (ϕ) 6 H(ϕ) ,

где H(ϕ) определена в (25.4) и удовлетворяет условиям леммы 25.1. Кроме того, для любого ε > 0 имеем

ln |f(reiϕ)| < (H(ϕ) + ε) rρ ïðè âñåõ ϕ [ϕ1 , ϕ2] è r > R(ε) . (25.6)

C Пусть H(ϕ) = a cos ρϕ + b sin ρϕ, ãäå a è b определяются системой

уравнений

a cos ρϕ1 + b sin ρϕ1 = h1, a cos ρϕ2 + b sin ρϕ2 = h2 .

Пусть, далее, δ произвольное положительное число. Определим числа α = α(δ) è β = β(δ) из системы

αcos ρϕ1 + β sin ρϕ1 = h1 + δ,

αcos ρϕ2 + β sin ρϕ2 = h2 + δ .

Это возможно, так как определитель системы sin ρ(ϕ2 − ϕ1) 6= 0. Î÷å-

Следствие 1. Индикатор целой функции f порядка ρ (0, +∞) и конечного типа σ конечен.

C Так как индикатор hf (ϕ) 6 σ ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], то достаточно показать, что

óãîë {z : ϕ0 < arg z < ϕ0 + m} (заметим, что 0 < m < ρ è m < 2π). Выберем числа h1 è h2 так, чтобы

гласно теореме 23.3 f ограничена в C, то есть f ≡ const. А это противоречит тому, что порядок f по условию положителен. Тем самым соотношение (25.12) доказано. B

Следствие 2. Индикатор целой функции f порядка ρ (0, +∞) и

конечного типа является тригонометрически выпуклой функцией.

C Положим h1 = hf (ϕ1), h2 = hf (ϕ2), ãäå 0 < ϕ2 −ϕ1 < πρ , и восполь- зуемся замечанием к теореме 25.7. В соответствии с ним верно неравенство (25.10), которое в данном случае приобретает следующий вид:

108 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

ãäå ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2. Отсюда, поскольку sin ρ(ϕ2 − ϕ1) > 0, получаем

hf (ϕ1) sin ρ(ϕ − ϕ2) + hf (ϕ) sin ρ(ϕ2 − ϕ1) + hf (ϕ2) sin ρ(ϕ1 − ϕ) 6 0 , (25.14)

π

для любых ϕ1 , ϕ , ϕ2 таких, что ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 è 0 < ϕ2 − ϕ1 < ρ , òî есть (см. определение 22.1) hf (ϕ) является тригонометрически выпуклой функцией. B

Отметим, что неравенство (25.14) называется основным соотношени-

ем для индикатора.

Основное соотношение для индикатора позволяет установить ряд его аналитических свойств.

Теорема 25.8. Индикатор целой функции f порядка ρ (0, +∞) и конечного типа является непрерывной функцией.

Переходя в последнем неравенстве к верхнему пределу при ϕ → ϕ0 + 0, имеем

lim hf (ϕ) 6 hf (ϕ0) .

ϕ→ϕ0+0

Теперь возьмем какое-либо ϕ1 так, чтобы 0 < ϕ0 − ϕ1 < πρ . Положив â (25.13) ϕ2 = ϕ0, имеем

Перейдя здесь к нижнему пределу, один раз при ϕ1 → ϕ0 − 0, а другой раз при ϕ2 → ϕ0 + 0, получим

то есть когда существут lim hf (ϕ0) = hf (ϕ0). А это означает , что функ-

ϕ→ϕ0

öèÿ hf (ϕ) непрерывна в точке ϕ0. В силу произвольности ϕ0 заключаем отсюда, что hf (ϕ) непрерывна на R. B

Следствие 1. Пусть f целая функция порядка ρ > 12 и конечного типа. Тогда не существует лучей {z : arg z = ϕ0} è {z : arg z = ϕ00} ñ

ϕ00 − ϕ0 = πρ , для которых hf (ϕ0) < 0 è hf (ϕ00) < 0.

Устремим ε к +0. Правая часть неравенства в силу непрерывности hf (ϕ) стремится к −∞, что невозможно по следствию 1 из теоремы 25.7. B

Замечание. Eсли f целая функция порядка ρ 0, 12 , òî íå ñó- ществует ни одного луча {z : arg z = ϕ} такого, что hf (ϕ) < 0. В самом

деле, если бы такой луч нашелся, то f должна была бы быть ограничен-

ной на нем, что для целых функций порядка ρ 0, 12 невозможно в силу теоремы 23.3. Тот же самый факт по только что доказанному следствию справедлив и для функций порядка ρ = 12 и конечного типа. Таким

C Заметим, что для тех ϕ [0, 2π], для которых hf (ϕ) > 0, соотношение (25.18) выполнено.

Пусть теперь ϕ0 [0, 2π] таково, что hf (ϕ0) < 0. Так как согласно

предыдущему следствию hf (ϕ) > 0 для некоторых значений ϕ [0, 2π], то в силу непрерывности индикатора существует интервал (ϕ0, ϕ00), содер-

жащий ϕ0, в которoм hf (ϕ) < 0 и на концах которого hf (ϕ0) = hf (ϕ00) = 0. Очевидно, что 0 < ϕ00 − ϕ0 6 πρ ; иначе, если допустить, что ϕ00 − ϕ0 > πρ ,

то тогда существуют значения ϕ0 è ϕ00 из интервала (ϕ1 , ϕ2), äëÿ êîòî-

π

ðûõ ϕ2 − ϕ1 = ρ è ïðè ýòîì hf (ϕ1) < 0, hf (ϕ2) < 0, а это противоречит

следствию 1 из теоремы 25.8.

Предположим для определенности, что ϕ0 ближайший к ϕ0 èç äâóõ концов интервала (ϕ0, ϕ00). Тогда 0 < ϕ0 − ϕ0 = δ 6 2πρ. Взяв любое

ε (0, δ) и положив в соотношении (25.13) ϕ1 = ϕ0 −δ+ε è ϕ2 = ϕ0 +δ−ε, получим

откуда hf (ϕ0 −δ + ε) > −hf (ϕ0 + δ −ε). Так как это соотношение справедливо для любого ε (0, δ), то переходя к пределу при ε → 0 и учитывая

непрерывность hf (ϕ), заключаем, что hf (ϕ0 − δ) > −h(ϕ0 + δ) = −hf (ϕ0). Но всегда hf (ϕ0 − δ) 6 σ, и следовательно, hf (ϕ0) > −σ. Утверждение

доказано. B