- •1. Моделирование экономических систем. Основные понятия и определения.
- •1.1. Возникновение и развитие системных представлений
- •1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей
- •В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
- •1.3. Виды подобия моделей
- •1.4. Адекватность моделей
- •2. Математические модели и методы их расчета
- •2.1. Понятие операционного исследования
- •Выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:
- •Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования:
- •2.2. Классификация и принципы построения математических моделей Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •Перечислим некоторые основные принципы построения математической модели:
- •3. Некоторые сведения из математики
- •3.1. Выпуклые множества
- •3.2. Линейные неравенства
- •3.3. Значения линейной формы на выпуклом множестве
- •4. Примеры задач линейного программирования
- •4.1. Транспортная задача
- •4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Дана система линейных уравнений:
- •4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Возможны следующие варианты:
- •5. Методы решения задач линейного программирования
- •5.1. Общая и основная задачи линейного программирования
- •5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •Тот факт, что оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника одр, позволяет сделать еще два важных вывода:
- •Этапы нахождения решения задачи линейного программирования:
- •5.3. Графическое решение задачи распределения ресурсов
- •Составим математическую модель задачи.
- •Метод решения задачи линейного программирования:
- •Тот факт, что оптимальное решение находится на вершине одр, дает еще два очень важных вывода:
- •5.4. Симплексный метод
- •Симплексная таблица строится следующим образом:
- •5.5. Анализ симплекс-таблиц
- •5.6. Решение транспортных задач
- •6. Методы нелинейного программирования и многокритериальной оптимизации
- •6.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •6.2. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения.
- •Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать:
- •6.3. Многокритериальная оптимизация
- •Три основные части задачи многокритериальной оптимизации:
- •Математические методы определения экспертных оценок:
4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
Аналогично транспортной задаче решается задача об оптимизации распределения ресурсов (трудовых, материальных, финансовых) и задача о диете. При всем разнообразии, по своему конкретному содержанию каждая из них была задачей на нахождение наиболее выгодного варианта. С точки зрения математической, в каждой задаче ищутся значения нескольких неизвестных, причем требуется, чтобы:
эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
при этих значениях некоторая линейная функция (линейная форма) от этих неизвестных обращалась в минимум (максимум);
эти значения были неотрицательными.
Задачами такого рода и занимается линейное программирование.
Говоря точнее, линейное программирование - это математическая дисциплина, изучающая методы нахождения наименьшего (или наибольшего) значения линейной функции нескольких переменных, при условии, что последние удовлетворят конечному числу линейных уравнений или неравенств. Общая математическая формулировка задачи линейного программирования выглядит следующим образом.
Дана система линейных уравнений:
а11x1+а12x2+ ... +а1nxn = b1
а21x1+а22x2+ ... +а2nxn = b2
(I)... ... ... ... ... ... ... ...
аm1x1+аm2x2+ ... +аmnxn = bm
и линейная функция =c1x1+c2x2+ ... +cnxn (II).
Требуется найти такие неотрицательные решения х1 0, х2 0 ... хn 0 (III) системы (I) при которых функция принимает наименьшее (наибольшее) значение.
Уравнения (I) называются ограничениями данной задачи, уравнение (II) называется линейной формой, а уравнение (III), строго говоря, тоже являются ограничениями, однако их не принято так называть, поскольку они являются общими для всех задач линейного программирования, а не только конкретной задачи. Любое неотрицательное решение системы уравнений называется допустимым. Допустимое решение, дающее минимум функции , оптимальное решение (если оно существует) не обязательно единственно; возможны случаи, когда имеется бесчисленное множество оптимальных решений. Наконец, саму функцию часто называют линейной формой или функцией цели.
Казалось бы, т.к. задача линейного программирования ставится как задача минимизации некоторой функции , то можно применить классический прием дифференциального исчисления. Однако частные производные равны коэффициентам при неизвестных, которые в «нуль» одновременно не обращаются.
4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
Задачу линейного программирования (ЛП) можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы являются основой для решения задачи на ЭВМ. Их единственный недостаток состоит в том, что в отличие от графических методов, они недостаточно наглядны. Графические методы очень наглядны, но они пригодны лишь для решения задач на плоскости, т.е. когда размерность пространства К=2. Однако, учитывая большую наглядность графических методов, с их помощью рассмотрим идею решения задачи ЛП на примере задачи распределения ресурсов.
Однако прежде чем заняться решением, сделаем некоторые замечания. Пусть мы имеем систему m уравнения с n неизвестными (I).