Возможны следующие варианты:

 Число неизвестных меньше, чем число уравнений n  m.

например: 2x₁=4, в этом случае n=1;

x₁=5, тогда m=2 (число линейно независимых уравнений). (4.4)

Очевидно, что система (4.4) решения не имеет, и она несовместна;

 Число неизвестных равно числу уравнений n=m.

В этом случае система имеет единственное решение или не имеет ни одного. Заметим, что m равно числу линейно независимых уравнений.

Для системы: 2x=10, n=1, m=1;

x=30.

 Если число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесчисленное множество решений. Пусть n  m. Например:

2x₁+x₂=2 (4.5)

Очевидно, что это уравнение прямой, и все значения x₁ и x₂, лежащие на этой прямой, являются решением уравнения (4.2). Значит уравнение (4.5) имеет бесчисленное множество решений.

В случае, когда система имеет больше одного возможного решения, может быть поставлена задача оптимизации, суть которой в том, что из всех допустимых решений, удовлетворяющих ограничениям и граничным условиям, выбрать такое, которое придает целевой функции оптимум. Вспомним построение линейных зависимостей. Пусть дано уравнение:

a₁x₁+a₂x₂=b (4.6)

Преобразуем его к виду:

(4.7)

Запись (4.7) называют уравнением прямой в отрезках, что изображено на Рис. 4.1. Рассмотрим еще одну форму представления уравнения (4.6). Запишем это уравнение в виде:

a₂x₂=b-a₁x₁

или

или

x₂=F-kx₁ (4.8)

Уравнение (4.8) изображено на рис. 4.2.

Вспомним неравенства. Если линейное уравнение с двумя переменными может быть представлено в виде прямой на плоскости, то неравенство вида:

a₁x₁+a₂x₂  b (4.9)

изображается как полуплоскость, показанная на рис. 4.1. На этом рисунке часть плоскости, удовлетворяющая неравенству, заштрихована. Координаты всех точек, принадлежащих заштрихованному участку, имеют такие значения x₁ и x₂, которые удовлетворяют заданному неравенству. Значит, эти значения составляют область допустимых решений (ОДР). Саму прямую считаем принадлежащей каждой из двух указанных полуплоскостей. Предположим теперь, что задано не одно неравенство, а система:

а₁₁x₁+а₁₂x₂  b₁

а₂₁x₁+а₂₂x₂  b₂

(4.10) ... ... ... ...

а_m1x₁+а_m2x₂  b_m,

где первое неравенство определяет некоторую полуплоскость П₁, второе - полуплоскость П₂ и т.д.

если какая-либо пара чисел (x₁, x₂) удовлетворяет всем неравенствам (4.10), то, соответствующая точка Р(x₁, x₂), принадлежит всем полуплоскостям П₁, П₂, ... П_m одновременно. Другими словами, точка Р принадлежит пересечению (общей части) полуплоскостей П₁, П₂, ... П_m, т.е. некоторой многоугольной области М (Рис. 4.3), которая является ОДР. Вдоль контура области изображены штрихи, идущие внутрь области. Они одновременно указывают, с какой стороны от данной прямой лежит соответствующая полуплоскость, то же самое указано и с помощью стрелок на каждой линии. Сразу же отметим, что ОДР не всегда бывает, ограничена: в результате пересечения нескольких полуплоскостей может возникнуть и неограниченная область (Рис. 4.4). Возможен и случай, когда область допустимых решений (ОДР) пуста. Это означает, что система (5.7) противоречива (Рис. 4.5). Многоугольник ОДР обладает весьма важным свойством: он является выпуклым.

 фигура называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками А и В, она содержит и весь отрезок АВ.

В случае трех неизвестных, каждое уравнение представляет собой плоскость в пространстве. Каждая плоскость разбивает все пространство на два полупространства. Система неравенств определяет в пространстве выпуклый объемный многогранник, который представляет ОДР.