- •1. Моделирование экономических систем. Основные понятия и определения.
- •1.1. Возникновение и развитие системных представлений
- •1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей
- •В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
- •1.3. Виды подобия моделей
- •1.4. Адекватность моделей
- •2. Математические модели и методы их расчета
- •2.1. Понятие операционного исследования
- •Выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:
- •Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования:
- •2.2. Классификация и принципы построения математических моделей Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •Перечислим некоторые основные принципы построения математической модели:
- •3. Некоторые сведения из математики
- •3.1. Выпуклые множества
- •3.2. Линейные неравенства
- •3.3. Значения линейной формы на выпуклом множестве
- •4. Примеры задач линейного программирования
- •4.1. Транспортная задача
- •4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Дана система линейных уравнений:
- •4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Возможны следующие варианты:
- •5. Методы решения задач линейного программирования
- •5.1. Общая и основная задачи линейного программирования
- •5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •Тот факт, что оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника одр, позволяет сделать еще два важных вывода:
- •Этапы нахождения решения задачи линейного программирования:
- •5.3. Графическое решение задачи распределения ресурсов
- •Составим математическую модель задачи.
- •Метод решения задачи линейного программирования:
- •Тот факт, что оптимальное решение находится на вершине одр, дает еще два очень важных вывода:
- •5.4. Симплексный метод
- •Симплексная таблица строится следующим образом:
- •5.5. Анализ симплекс-таблиц
- •5.6. Решение транспортных задач
- •6. Методы нелинейного программирования и многокритериальной оптимизации
- •6.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •6.2. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения.
- •Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать:
- •6.3. Многокритериальная оптимизация
- •Три основные части задачи многокритериальной оптимизации:
- •Математические методы определения экспертных оценок:
5.6. Решение транспортных задач
В качестве примера приведем решение транспортной задачи ЛП с помощью таблицы. Транспортная таблица состоит из m строк и n столбцов. В правом верхнем углу каждой клетки будем ставить стоимость Сij перевозки единицы груза из Ai в Bj, а в центр клетки поместим перевозку Xij.
Таблица 5.6
-
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
13
7
14
7
5
30
A2
11
8
12
6
8
48
A3
6
10
10
8
11
20
A4
14
8
10
10
15
30
Заявки bj
18
27
42
26
15
128
Таблица 5.7
-
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
18 13
12 7
14
7
5
30
A2
11
15 8
33 12
6
8
48
A3
6
10
9 10
11 8
11
20
A4
14
8
10
15 10
15 15
30
Заявки bj
18
27
42
26
15
128
Составим опорный план. Можно применить метод «северо-западного угля». Пусть пункт В1 подал заявки на 18 единиц груза. Удовлетворим ее из запасов А1. После этого в нем остается еще 30-18=12 единиц груза. Отдадим их пункту В2. Но заявка этого пункта еще не удовлетворена. Выделим остаток 27-12 из запасов А2 и т.д. рассуждая аналогичным образом, составим таблицу 5.8. Полученный план перевозок является опорным, но вряд ли он является оптимальным в смысле стоимости перевозок.
Напомним, что прямая, которая имеет с областью, по крайней мере, одну общую точку, притом так, что вся область лежит по одну сторону от этой прямой, называется опорной по отношению к этой области.
Таким образом, задача ЛП на геометрическом языке может быть сформулирована так: среди прямых уровня функции цели найти опорную по отношению к ОДР и притом так, чтобы вся область лежала со стороны больших значений . Наш план - не оптимальный. Сразу видно, что его можно улучшить, если произвести в нем «циклическую перестановку», уменьшив перевозки в «дорогой» клетке (2.3) со стоимостью 12. но зато, увеличив перевозки в «дешевой» клетке (2.4) со стоимостью 6. чтобы план оставался опорным, мы должны при этом сделать одну из свободных клеток базисной, а одну из базисных - свободной.
Сколько единиц груза можем мы перенести по циклу следующему циклу: (2.4)(3.4)(3.3)(2.3), увеличивая перевозки в нечетных вершинах цикла и уменьшая в четных? Очевидно, не больше 11 единиц (иначе перевозки в клетке (3.4) стали бы отрицательными). Также очевидно, что в результате циклического переноса допустимый план остается допустимым - баланс заявок и запасов не нарушается. Произведем перенос и запишем улучшенный план в таблицу 5.8.
таблица 5.8
-
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
18 13
12 7
14
7
5
30
A2
11
15 8
33 12
11 6
8
48
A3
6
10
20 10
8
11
20
A4
14
8
10
15 10
15 15
30
Заявки bj
18
27
42
26
15
128
Таблица 5.9
-
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
- 3 13
12 7
14
7
+15 5
30
A2
11
15 8
22 12
11 6
8
48
A3
6
10
20 10
8
11
20
A4
+15 14
8
10
15 10
- 15
30
Заявки bj
18
27
42
26
15
128
посмотрим, что мы сэкономили. Общая стоимость плана в табл. 5.7 равна:
‡1=1813+127+158+3312+910+118+1510+1515=1287.
Общая стоимость плана табл. 5.6 равна:
‡2=1813+127+158+2212+116+2010+1510+1515=1243.
Таким образом, нам удалось уменьшить стоимость перевозок на 44 единицы.
Действительно алгебраическая сумма стоимостей, стоящих в вершинах цикла со знаком «+», если перевозки в этой вершине увеличиваются, и со знаком «-», если уменьшаются (так называемая «цена цикла»). в данном случае равна 6-8+10-12=-4. Значит, при переносе одной величины груза по этому циклу стоимость уменьшается на 4. А мы перенесем 11 единиц. Следовательно, цена цикла 4 . 11=44.
Попробуем еще раз улучшить план табл. 5.8 с помощью цикла (табл. 5.9) с ценой: 5-15+14-13=9. Перебрасывая 15 единиц груза, сокращаем стоимость на: 9 . 15=135.