- •1. Моделирование экономических систем. Основные понятия и определения.
- •1.1. Возникновение и развитие системных представлений
- •1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей
- •В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
- •1.3. Виды подобия моделей
- •1.4. Адекватность моделей
- •2. Математические модели и методы их расчета
- •2.1. Понятие операционного исследования
- •Выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:
- •Можно выделить следующие основные этапы операционного исследования:
- •2.2. Классификация и принципы построения математических моделей Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
- •Перечислим некоторые основные принципы построения математической модели:
- •3. Некоторые сведения из математики
- •3.1. Выпуклые множества
- •3.2. Линейные неравенства
- •3.3. Значения линейной формы на выпуклом множестве
- •4. Примеры задач линейного программирования
- •4.1. Транспортная задача
- •4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
- •Дана система линейных уравнений:
- •4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Возможны следующие варианты:
- •5. Методы решения задач линейного программирования
- •5.1. Общая и основная задачи линейного программирования
- •5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •Тот факт, что оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника одр, позволяет сделать еще два важных вывода:
- •Этапы нахождения решения задачи линейного программирования:
- •5.3. Графическое решение задачи распределения ресурсов
- •Составим математическую модель задачи.
- •Метод решения задачи линейного программирования:
- •Тот факт, что оптимальное решение находится на вершине одр, дает еще два очень важных вывода:
- •5.4. Симплексный метод
- •Симплексная таблица строится следующим образом:
- •5.5. Анализ симплекс-таблиц
- •5.6. Решение транспортных задач
- •6. Методы нелинейного программирования и многокритериальной оптимизации
- •6.1. Постановка задачи нелинейного программирования
- •6.2. Постановка задачи динамического программирования. Основные условия и область применения.
- •Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать:
- •6.3. Многокритериальная оптимизация
- •Три основные части задачи многокритериальной оптимизации:
- •Математические методы определения экспертных оценок:
Метод решения задачи линейного программирования:
Найти вершины ОДР, как точки пересечения ограничений.
Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.
Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное значение, является оптимальной вершиной.
Координаты оптимальной вершины являются оптимальными значениями искомых переменных.
Если направление целевой функции совпадает с направлением одной из сторон, то у задачи будет, по крайней мере, два решения. В таком случае говорят, что задача имеет альтернативные решения. А это значит, что одно и то же оптимальное значение целевой функции может быть получено при различных значениях переменных.
Тот факт, что оптимальное решение находится на вершине одр, дает еще два очень важных вывода:
если оптимальным решением являются координаты вершин ОДР, значит, сколько вершин имеет ОДР, столько оптимальных решений может иметь задача.
поскольку чем больше ограничений, тем больше вершин, то, следовательно, чем больше ограничений, тем больше оптимальных решений.
Как видно на Рис. 5.1, вершина, координаты которой являются оптимальным решением, определяется углом наклона прямой, описывающей целевую функцию. Значит, каждая вершина будет соответствовать оптимальному решению для некоторой целевой функции. Поясним это на рассмотренном ранее примере. Раньше мы находили оптимальное решение по максимизации суммарного выпуска F1=x1+x2 max. Найдем оптимальные решения еще для четырех целевых функций:
F2=x2 max (максимизация выпуска продукции П2)
F3=x1 max (максимизация выпуска продукции П1)
F4=4x1+8,5x2 max (максимизация прибыли)
F5=(1+3+6)x1 + (4+4+2)x2 = 10х1+10х2 max (минимизация используемых ресурсов).
Для каждой целевой функции, так же как и для F1, можно построить линию целевой функции и определить вершину, в которой целевая функция будет иметь оптимальное значение. Результаты решения задачи по пяти целевым функциям сведем в таблицу 5.2, из анализа которой можно сделать вывод: координаты каждой вершины могут быть оптимальным решением в некотором смысле.
Таблица 5.2
|
Целевая функция |
Вершина |
x1 |
x2 |
x1+x2 |
Прибыль |
Используемый ресурс |
|
F1=x1+x2 max |
C |
4 |
1,5 |
5,5 |
28,75 |
55 |
|
F2=x2 max |
A |
0 |
3,5 |
3,5 |
29,75 |
35 |
|
F3=x1 max |
D |
4,5 |
0 |
4,5 |
18 |
45 |
|
F4=4x1+8,5x2 max |
B |
2 |
3 |
5 |
33,5 |
50 |
|
F5= 10х1+10х2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5.4. Симплексный метод
Симплексный метод или метод последовательного улучшения плана является одним из основных методов решения задач ЛП. название симплексный метод берет от слова «симплекс», которым создатель метода Р. Данциг обозначил наложенное на переменные x1, x2 ... xn ограничение x1+x2+ ... +xn=1.
В математике симплексом в k-мерном пространстве называется совокупность k+1 вершин.
Так для плоскости при k=2 симплексом будет треугольник; в пространстве при k=3 симплексом будет тетраэдр, имеющий 4 вершины.
С учетом этого понятия аналитический метод решения задачи ЛП называют симплекс-методом. Он основан на алгоритме направленного перебора вершин. Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается.
Определение значения целевой функции и переменных в одной вершине считается итерацией.
Число итераций в реальных задачах может измеряться сотнями. Вручную, с помощью симплекс-метода, могут быть решены задачи, содержащие не более 10 итераций. Поэтому в реальных задачах применяют ЭВМ и пакеты прикладных программ (ППП).
Метод решения задач ЛП с помощью симплексных таблиц изложен на конкретном примере. Пусть требуется найти неотрицательное решение системы линейных неравенств:
x1+9x2 56
(5.14) x1+3x2 37
x1+2x2
обращающее в максимум линейную форму:
=3x1+4x2 (5.15)
Вначале перейдем от системы неравенств (5.14) к системе уравнений, добавив к левым частям неравенств неотрицательные переменные x3, x4, x5. Мы получим:
x1+9x2+x3+0 . x4+0 . x5=56
(5.16) x1+3x2+0 . x3+x4+0 . x5=37
x1+2x2+0 . x3+0 . x4+ x5
=x1+4x2+0 . x3+0 . x4+0 . x5 (5.17)
перепишем теперь систему (5.16) в виде системы 0-уравнений:
0=56 - (x1+9x2+1 . x3+0 . x4+0 . x5)
(5.18) 0=37 - (x1+3x2+0 . x3+1 . x4+0 . x5)
0=2 - (-x1+2x2+0 . x3+0 . x4+1 . x5
=0 - (-x1-4x2-0 . x3-0 . x4-0 . x5) (5.19)
заметим, что система (5.18) может быть записана в виде одного векторного равенства:
0=B-(A1x1+A2x2+A3x3+A4x4+A5x5),
где вектор-столбец В имеет своими компонентами свободные члены, а векторы A1, A2, ... , A5 - коэффициенты при соответствующих переменных x1, x2, x3, x4, x5. Иными словами:
|
|
56 |
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
В= |
37 |
|
A1= |
5 |
|
A2= |
3 |
|
A3= |
0 |
|
A4= |
1 |
|
A5= |
0 |
|
|
2 |
|
|
-1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
Линейная форма имеет вид: =x1+4x2+0 . x3+0 . x4+0 . x5.
Векторы A3, A4, A5 образуют базис. Это означает, что, присвоив х1=0, х2=0, получаем из (5.16) первое базисное решение: x1=0; x2=0; x3=56; x4=37; x5=2.
При этом значение линейной формы =0. На основании (5.18) строим первую симплексную таблицу.