4.4. Теорема Гаусса для электрического поля

1. Эбонитовый сплошной шар ( = 3,0) радиусом R = 5см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью  = 10,00 нКл/м³. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках на расстоянии r = 3 см от центра сферы.

2. Эбонитовый сплошной шар ( = 3,0) радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью  = 10,00 нКл/м³. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках на поверхности сферы.

3. Эбонитовый сплошной шар ( = 3,0) радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью  = 10,00 нКл/м³. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках на расстоянии r = 10 см от центра сферы.

4. Длинный парафиновый цилиндр ( = 2,0) радиусом R = 2 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью  = 10 нКл/м³. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r₁ = 1 см от оси цилиндра.

5. Длинный парафиновый цилиндр ( = 2,0) радиусом R = 2 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью  = 10 нКл/м³. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r = 3 см от оси цилиндра.

6. Полый стеклянный шар ( = 7,0) равномерно заряжен по объему с плотностью  =0,10 мкКл/м³. Внутренний радиус шара R₁ = 5 см, наружный R₂=10 см. Вычислить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках, находящихся на расстоянииr = 3 см от центра шара.

7. Полый стеклянный шар ( = 7,0)равномерно заряжен по объему с плотностью  = 0,10 мкКл/м³. Внутренний радиус R₁ шара равен 5 см, наружный R₂ равен 10 см. Вычислить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках, находящихся на расстоянии r = 6 см от центра шара.

8. Полый стеклянный шар ( = 7,0) несет равномерно распределенный по объему заряд с плотностью  = 0,10 мкКл/м³. Внутренний радиус шара R₁= 5 см, наружный R₂ = 10 см. Вычислить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках, отстоящих от центра шара на расстоянии r = 12 см.

9. Большая плоская пластина толщиной d = 1 см равномерно заряжена по объему с плотностью  = 100 нКл/м³. Найти напряженность E электрического поля вблизи центральной части пластины на малом расстоянии от неё.

10. Лист стекла ( = 7,0) толщиной d = 2 см равномерно заряжен с объемной плотностью  = 1,00 мкКл/м³. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точке А, отстоящих от края пластины на расстоянии d/4 (рис. 37).

11. Лист стекла ( = 7,0) толщиной d=2 см равномерно заряжен с объемной плотностью  =1,00 мкКл/м³. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точке B, отстоящих от края пластины на расстояние 3d/4 (рис. 37).

12. Лист стекла ( = 7,0) толщиной d=2 см равномерно заряжен с объемной плотностью  = 1,00 мкКл/м³. Определить напряженность E и смещение D электрического поля в точке С, лежащей на поверхности пластины (рис. 37).

Рис. 37

13. Плоская стеклянная пластина ( = 7,0) толщиной d =2 см заряжена равномерно с объемной плотностью ρ = 10,00 мкКл/м³. Найти разность потенциалов Δφ между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины в ее середине. Считать, что размеры пластины велики по сравнению с ее толщиной.

14. Сплошной парафиновый шар ( = 2,0) радиусом R = 10 см равномерно заряжен с объемной плотностью ρ = l,00 мкКл/м³. Определить потенциал φ электрического поля в центре шара.

15. Сплошной парафиновый шар ( = 2,0) радиусом R = 10 см равномерно заряжен с объемной плотностью ρ = 1,00 мкКл/м³. Определить потенциал φ электрического поля на поверхности шара.

16. В центре полого металлического шара радиусом R = 1,00 м, имеющего заряд q₁ = 9,0010^-8 Кл, находится маленький шарик радиусом r = 1 см с зарядом q₂ = –3,0010^–8 Кл. Найти потенциал и напряжённость электрического поля в точках, расположенных на расстояниях 30см и 3,00 м от центра шаров.

17. Точечный заряд q = 5 мКл находится в воздухе и помещён в центр полого металлического шара. Его внутренний радиус R₁ = 6 см, внешний R₂ = 10 см. Найти заряд, индуцированный на внутренней и внешней поверхностях полого шара, и поверхностную плотность заряда в двух случаях: 1) металлический слой изолирован; 2) слой соединён с землёй (заземлён).

18. Точечный заряд q находится в центре шара радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью . Найти напряжённость электрического поля как функцию расстояния от центра шара. Построить графики зависимости D(r) и E(r).

19. Пластину из эбонита ( = 3,0) толщиной 2,00 мм и площадью поверхности 0,03 м² поместили в однородное электрическое поле с напряжённостью 1,00 кВ/м, расположив так, что линии напряжённости поля перпендикулярны поверхности пластины. Найти напряжённость наведённого поля и плотность связанных зарядов на поверхности пластины.

20. Радиусы внутреннего и внешнего шаров сферического вакуумного конденсатора R₁ = 1 см, R₂ = 4 см. К конденсатору приложено напряжение U = 3,00 кВ. Найти скорость, которую приобретает электрон при приближении к центру шаров с расстояния r₁ = 3 см до расстояния r₂ = 2 см.

21. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 0,06 м и R₂= 0,10 м несут соответственно заряды Q₁ = l,00 нКл и Q₂  = –0,50 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ = 0,05 м, r₂ = 0,09 м.

22. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ = 6 см и R₂ = 10 см несут соответственно заряды Q₁ = l,00 нКл и Q₂= – 0,50 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ = 5 см, r₂ = 15 см.

23. Сторонние заряды равномерно распределены с объёмной плотностью ρ > 0 по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью . Найти модуль напряжённости электрического поля как функцию расстояния r от центра шара.

24. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью  заряжена равномерно с объёмной плотностью ρ. Толщина пластины 2d. Найти модуль напряжённости электрического поля как функцию расстояния x от середины пластины. Ось X направить перпендикулярно плоскости пластины. Построить графики зависимости D(x) и E(x).

25. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью  заряжена равномерно с объёмной плотностью ρ. Толщина пластины 2d. Найти потенциал электрического поля как функцию расстояния x от середины пластины, считая потенциал в середине пластины равным нулю. Ось X направить перпендикулярно плоскости пластины. Построить график зависимости (x).