TVMS-3

нулевая гипотеза H0: p = p0 отвергается, и принимается гипотеза H1: p > p0.

Рис. 5.4.1 Критическая область (заштрихована) и область принятия нулевой гипотезы в задаче 449

вергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу, состоящую в том, что веро ятность заключение контракта Ивановым выше, чем средним сотрудником.

Преобразуем неравенство (5.4.2):

его с критическим значением uγ/2. Критической области при этом соответствует неравенство

Z >uγ/2 .

450. Торговая компания собирается открыть в новом районе города фи лиал. Из опыта работы компании известно, что филиал будет работать при быльно, если за неделю средний доход жителей района превышает 400 ден. ед.; также известна дисперсия дохода σ2 =400 . Требуется: а) определить правило принятия решения, с помощью которого, основываясь на выборке объемом n =100 и уровне значимости α=0,05 , может быть установлено, что филиал будет работать прибыльно; б) предположив, что в действительности средний доход за неделю достигает 406 ден. ед., рассчитать вероятность того,

81

что при применении предложенного правила принятия решения будет совер шена ошибка второго рода.

Решение. а) Компания не откроет филиал, если средний доход жителей не превысит 400 ден. ед. Потому будем считать, что H0 : a =a0 =400 , H1 : a >a0 . Так как значение гене

мают и, следовательно, филиал открывают, если если недельный среднедушевой доход 100 жителей x >400 +2 1,65 =403,3 .

б) Альтернативное значение среднего дохода равно a1 =430 , и гипотеза H1: a =406 >a0 .

службы составляет a0 =1000 ч. Проверить эту гипотезу на 5% ном уровне значимости по выборке из n =25 ламп, для которой x =875 ч, s =50 ч.

Решение. Будем проверять на уровне значимости α =5% =0,05 нулевую гипотезу

H0 : MX =a0 о том, что математическое ожидание срока службы лампы равно a0 =1000 ч при альтернативной гипотезе H1 : MX <a0 , что на самом деле математическое ожидание

452. В условиях задачи 432 требуется, предположив нормальность рас пределения объема продаж, на 5% ном уровне значимости проверить гипоте зу H0: MX =[x] при альтернативной гипотезе H1: MX ≠[x] (здесь [s] — целая часть числа s); рассчитать вероятность ошибки второго рода, задавшись аль тернативным числовым значением MX.

Решение. В предположении нормальности распределения объема продаж проверим на 5% ном уровне значимости справедливость гипотезы H0: MX = 49 при альтернативной гипо тезе H1: MX ≠ 49.

При α = 0,05 значение критической точки tα; n−1 =t0,05; 99 =1,98 . Поскольку |0,55| < t0,05; 99 , нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу H0.

Пусть альтернативное значение математического ожидания равно a1 = 50, тогда веро ятность ошибки второго рода равна

=P{T99 >−0,92−1,98}−P{T99 >−0,92+1,98}= P{T99 <2,9}−P{T99 >1,06}=

=1−0,002−0,146 =0,857.

82

Здесь вероятности P{Tk > t} можно рассчитать с помощью функции Microsoft Excel

P{Tk > t} = СТЬЮДРАСП(<t>; <k>; 1).

453.Инвестиционный фонд объявил, что доходность по вложениям в него превысила среднерыночную на 0,003. В течение последнего года средняя доходность по рынку составила 0,005, а средняя доходность по фонду состави ла 0,0065 с исправленным средним квадратичным отклонением 0,019. Прове рить на 5% ном уровне значимости, насколько справедливо заявление фонда.

454.Продюсер некоторой телепередачи утверждает, что она должна привлечь внимание, по крайней мере, трети телезрителей. Из 64 опрошенных только 16 заявили о своем намерении посмотреть эту передачу. Оценить ут верждение продюсера на 5% ном уровне значимости.

455.Средняя оценка контрольной работы в студенческой группе из 25 человек оказалась равной 3,25. После контрольной работы преподаватель провел консультацию, после чего была повторно написана контрольная рабо та, и средняя оценка оказалась равной 3,3. Проверить на 5% ном уровне зна

чимости, помогла ли консультация, считая средние квадратичные отклонения оценок известными и в обоих случаях равными σ1 =σ2 =1.

456.Такси оснащается двумя видами шин A и B. Десять шин вида A

имеют x1 =40 000 км, s1 =5 950 км, двенадцать шин вида B — x2 =38 000 км, s2 =5150 км. Определить, существенно ли различие между стойкостью двух видов шин, если генеральные совокупности нормальны и σ1 =σ2 .

83

Рис. 5.4.2 Гистограмма, полигон и кривая теоретического распределения в задаче 457

Между гистограммой и кривой распределения есть различия. Выясним, можно ли на 5% ном уровне значимости отнести эти различия на счет случайности, или же мы выдвину ли ложную гипотезу.

Вычислим значение статистики χ2ν −l−1 . Для этого сначала найдем вероятности, кото

рые приходятся на каждый интервал [при этом первый интервал считаем начинающимся в точке −∞ , а последний интервал — заканчивающимся в точке +∞].

p7 =P{8,5 -X<9,5} =0,0722 , p8 =P{X .9,5} =0,0262 . Дальнейшие вычисления для удобства и наглядности сведем в табл 5.4.3. Критерий Пирсона можно использовать только в том случае, когда npiтеор. .5 , поэтому интервалы, для которых это условие не выполняется, объединим с соседними. Новое число интервалов обозначим ν′=6 .

Окончательное значение χ2ν′−l−1 равно сумме величин в последнем столбце, т. е. 3,0934. Теперь найдем критическую точку χ2ν′−l−1;α . Для этого, прежде всего, рассчитаем число

степеней свободы: при расчете χ2ν′−l−1 использовалось ν′=6 интервалов, у предполагаемого

нормального распределения были неизвестны l =2 параметра, поэтому ν′−l −1=6−2−1=3 . С помощью Microsoft Excel находим

χ2α;ν′−l−1 =χ20,05; 3 = ХИ2ОБР(0,05; 3) = 7,81.

Поскольку χ2ν′−l−1 <χα2 ; ν′−l−1 , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распре делении остатка на счете.

87

Проверить на 5% ном уровне значимости гипотезу о том, что число поло мок компьютера за год распределено по закону Пуассона.

459. Дано распределение успеваемости 50 студентов, сдавших 4 экза мена в сессию:

Проверить на уровне значимости α =0,1 гипотезу о том, что число сдан ных экзаменов (из четырех) имеет биномиальный закон распределения.

460. В условиях задачи 432 требуется с помощью программы «Описатель ная статистика» пакета Microsoft Excel на 5% ном уровне значимости проверить ги потезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж.

Решение. Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения воспользуемся критерием χ2. По данным табл. 5.2.1 вычислим значения интервальных частот для нормаль ного закона распределения

npj = n[FN(aj+1) – FN(aj)],

предварительно приняв FN(a1) = 0 и FN(aν+1) = 1. Объединим те интервалы, в которых npj - 5

(в данном случае необходимо объединить первый интервал со вторым, а восьмой — с девя тым), при этом соответствующие выборочные интервальные частоты mj (и теоретические частоты npj) складываются. Затем в каждом из интервалов (с учетом объединения) вычис лим значение величины

(npj −mj )2

npj

88

и просуммируем эти значения по интервалам — получим выборочное (наблюдаемое) число вое значение статистики

это значение равно 3,80.

Здесь ν* — число интервалов после их объединения (в данном случае ν* = 7), l — число параметров нормального закона распределения, точные значения которых неизвестны (в данном случае нам неизвестны точные значения обоих параметров нормального закона a и σ, поэтому l = 2).

Значение статистики χ2ν −l−1 сравним с критической точкой χ2α; ν −l−1 , где α — уровень зна чимости (по условию задачи α = 5% = 0,05). Критическая точка χ2α; ν −l−1 =χ20,05; 4 =9,49 [это зна чение получено с помощью функции Microsoft Excel χ2α; k =ХИ2ОБР(<α>; <k>)]. Наблюдаемое значение статистики χ24 оказалось меньше критической точки, поэтому нет оснований отверг

нуть гипотезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж. Результаты расчетов сведены в табл. 5.4.4.

89