TVMS-3

новременно у одного и того же страховщика страхуется большая однородная (по возрасту, полу, типу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхо вателей, в силу закона больших чисел можно говорить об у с т о й ч и в о с т и о т н о с и т е л ь н ы х ч а с т о т и рассматривать продолжительность жизни как неотрицательную случайную величину X с функцией распределения

F(x) = P{X < x}. Функция выживания

равна вероятности того, что человек из данной однородной группы проживет не менее x лет. Функция выживания (4.5.1) предполагается монотонно убы вающей (иначе в определенных интервалах времени смерть будет невозмож на) и непрерывной (иначе возможны моменты, в которые смерть наступает с положительной вероятностью). Кроме того, функция выживания (4.5.1) долж на удовлетворять всем свойствам, которые следуют из того, что F(x) = 1 – s(x) является ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я случайной величины X.

Пусть

T(x) = X – x —

о с т а т о ч н о е в р е м я ж и з н и человека в возрасте x лет. Через

tpx = P{T(x) t}

обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще не менее t лет.

По определению условной вероятности

группа новорожденных одного пола, проживающих в одинаковой местности, в количестве l0 чел. Пусть Xk — продолжительность жизни k го человека из данной группы (k = 1, 2, … , l0). Количество доживших до возраста x обозначим L(x), и в таблицах продолжительности жизни приводится математическое ожидание случайной величины L(x):

Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для городского на селения Российской Федерации в 1993 г. приведен в табл. 4.5.1.

Простейший вид к р а т к о с р о ч н о г о с т р а х о в а н и я ж и з н и за ключается в следующем. Страхователь (некоторый человек) платит страхов щику (страховой компании) страховую премию в сумме c ден. ед., а страхов щик соглашается выплатить наследникам страхователя страховую выплату (или страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в течение года (и не платить ничего в противном случае).

Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много больше стра ховой премии.

31

Одной из важнейших задач актуарной математики является вычисление соотношений между страховой выплатой b и страховой премией c.

ТЕОРЕМА О СУММАРНОМ ДОХОДЕ СТРАХОВЩИКА. Пусть страховщик продал

страхователям одного пола, одного возраста (x лет), проживающим в оди наковой местности, n договоров страхования, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачи вается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна c ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.

Тогда

Доказательство. В общем случае страховщик получит доход, не меньший u, если раз ность U между суммарной страховой премией и суммарными страховыми выплатами за год окажется не менее u.

Суммарная страховая премия, которую получит страховщик от всех n страхователей, равна, очевидно, C = nc ден. ед. Пусть за год наступит K страховых случаев (умрет K человек из n страхователей). Тогда суммарные страховые выплаты составят B = Kb ден. ед. Приведя их к настоящему времени [умножив на коэффициент дисконтирования v = (1 + i)–1], полу чим, что искомая вероятность

Вероятность того, что любой страхователь, случайно выбранный из n человек, которые приобрели полисы, умрет в течение ближайшего года, можно найти по таблице продолжи тельности жизни для данной социальной группы:

px ≡ 1px = s(x +1) = lx+1 , s(x) lx

где lx — количество доживших до возраста x.

32

При этом страховые случаи не зависят друг от друга, и можно рассмотреть биномиальную случайную величину K = Bi(n; px) — количество смертей в группе из n страхователей. При n →∞можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра — Лапласа, согласно которой

что и требовалось доказать.

Определим такое соотношение между страховой выплатой b и страховой премией c на один договор, чтобы с вероятностью γ, близкой к единице, обес печить страховой компании доход, не меньший u. При этом P{U u} = γ, по этому по формуле (4.5.4) получим, что

Если обозначить xα квантиль уровня α стандартного нормального распре деления N(0; 1), то

Тем самым доказана

33

ТЕОРЕМА О СООТНОШЕНИИ СТРАХОВОЙ ВЫПЛАТЫ И СТРАХОВОЙ ПРЕМИИ. Пусть

страховщик продал страхователям одного пола, одного возраста (x лет), проживающим в одинаковой местности, n договоров страхования, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его на следникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного договора равна c ден. ед., а годовая ставка безрисковых вложений составляет i.

Тогда при выполнении соотношения (4.5.3) между страховой выплатой b и страховой премией c на один договор, чтобы с вероятностью , близкой к единице, обеспечить страховой компании доход, не меньший u.

Естественно, в реальных страховых компаниях стоимость договора стра хования складывается из теоретической оценки страховой премии (4.5.3) и оценки средних транзакционных издержек на один договор. Первое из этих слагаемых одинаково для всех страховых компаний, действующих на одном рынке, и компания может обеспечить конкурентоспособность своих страховых продуктов только за счет снижения транзакционных издержек.

Задачи

418. Вероятность смерти тридцатилетнего мужчины составляет 0,006. Страховая компания заключила 10 000 договоров страхования с мужчинами в возрасте тридцати лет, согласно которым в случае смерти застрахованного лица в течение ближайшего года его наследникам в конце этого года выплачивается 120 000 руб. Стоимость одного договора равна 1200 руб, а годовая ставка по бан ковским депозитам равна 20%. Найти вероятности следующих событий: а) к кон цу года страховая компания окажется в убытке; б) доход страховой компании превысит 4 000 000 руб.

Решение. Пусть за год наступило K страховых случаев, тогда доход страховой компа нии составит

U =10 000 1200−120 000K =100 000(120−K) 1+0,2

здесь мы привели все выплаты к настоящему моменту времени: выплата 120 000 руб. че

Поэтому компания окажется в убытке (U < 0), если за год наступит более 120 страхо вых случаев (т. е. от 121 до 10 000). Доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. (U > 4 000 000), если за год наступит менее 80 страховых случаев. Вероятность наступления страхового случая px = 0,006. Всего проводится n = 10 000 испытаний. Поскольку число ис пытаний т велико, можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра — Лапласа:

=Φ0 (2,589)−Φ0 (−7,77) ≈0,995,

34

значит, доход страховой компании превысит 4 000 000 руб. с вероятностью 0,995, очень близ кой к единице, т. е. почти наверное.

419. В страховой компании 10 000 клиентов, взнос каждого из которых со ставляет 1000 руб. Вероятность наступления страхового случая равна (по оцен кам экспертов компании) 0,005, а страховая выплата при наступлении страхово го случая составляет 100 000 руб. Определить, на какую прибыль может рассчи тывать страховая компания с вероятностью 0,99. Определить минимальный раз мер страховой премии, при котором страховая компания получит прибыль, не меньшую 1 000 000 руб., с вероятностью 0,999.

35

но пользоваться этими формулами можно только в теоретических выкладках, так как при практических расчетах эти формулы обладают существенно большей вычислительной погрешностью, чем их аналоги (5.1.2) и (5.1.3). Дока зать формулы (5.1.5) и (5.1.6) мы предлагаем читателю в задачах 422 и 423.

Несложно также показать, что выборочный коэффициент корреляции заключен в пределах от –1 до 1 и характеризует близость зависимости между выборками X и Y к линейной (рис. 5.1.1).

Чем ближе точки (xi; yi) расположены к некоторой прямой, тем ближе значение модуля выборочного коэффициента корреляции ˆ| ρ(X, Y) | к единице, и наоборот, чем ближе ˆ| ρ(X, Y) | к единице, тем ближе точки (xi; yi) расположе ны к некоторой прямой. При этом выборочный коэффициент корреляции ˆρ(X, Y) положителен [отрицателен] тогда и только тогда, когда при увеличении одной из величин X, Y значения другой имеют тенденцию к увеличению [соот ветственно, к уменьшению], т. е. прямая, около которой расположены точки (xi; yi), имеет положительный [соответственно, отрицательный] наклон.

Значение выборочного коэффициента корреляции, близкое к нулю, озна чает отсутствие линейной связи между переменными, но при этом может на блюдаться сильная нелинейная корреляционная зависимость (как на рис. 5.1.1, е, где точки расположены близко к некоторой п а р а б о л е ) или ста тистическая связь, которую в виде функциональной зависимости переменных представить невозможно, так, на рис. 5.1.1, ж приведен пример статистиче ской зависимости, когда с увеличением x растет разброс точек вдоль оси y, однако никакой функцией y = f(x) (линейной или нелинейной) такую зави симость выразить нельзя.

38

x

ж)

Рис. 5.1.1. Виды зависимости между выборками: сильная линейная прямая,ˆρ(X, Y) ≈1 (а);

слабая линейная прямая,ˆρ(X, Y) ≈−0,5 (б);

сильная линейная обратная,ˆρ(X, Y) ≈−1 (в);

слабая линейная обратная,ˆρ(X, Y) ≈−0,5 (г);

отсутствие зависимости,ˆρ(X, Y) ≈0 (д);

сильная нелинейная,ˆρ(X, Y) ≈0 (е);

зависимость, не являющаяся корреляционной,ˆρ(X, Y) ≈0 (ж)

39

Задачи

420. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по результатам наблюдений двумерной случайной величины: