Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Всероссийский государственный университет кинематографии им. С.А. Герасимова "ВГИК"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TVMS-3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

§ 4.3. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Под з а к о н а м и б о л ь ш и х ч и с е л понимается обобщенное назва ние группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении чис ла испытаний средние величины сходятся (в каком то из смыслов, рассмот ренных в предыдущем параграфе) к некоторым постоянным. Наиболее общей из этих теорем является теорема Чебышёва, также называемая просто зако ном больших чисел.

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЁВА. Если дисперсии некоррелированных случайных вели

чин X1, X2,…, Xn

ограничены сверху числом B , то для произвольного сколь

угодно малого ε>0 справедливо неравенство

∑

MXi

i=1

−

i=1

<ε

1−

(4.3.1)

nε

и предельное равенство

∑

MXi

lim P

i=1

−

i=1

<ε =1,

(4.3.2)

n→∞

т. е.

∑Xi

∑MXi

i=1

P→

i=1

Доказательство. Очевидно, если

X1, X2 ,…, Xn — случайные величины, то величина

∑Xi

i=1

также является случайной,

причем по свойствам математического ожидания и

∑MXi

дисперсии M

i=1

, и поскольку случайные величины X1, X2 ,…, Xn

некоррелированы,

∑DXi

то

i=1

Применим

случайной

величине

X неравенство

Чебышёва:

∑Xi

∑MXi

∑DXi

i=1

−

<ε =P{| X −MX |<ε}

1−

=1−

что 1−

∑DXi

1−

∑B

=1−

Учитывая,

что все DXi

B , получим,

i=1

, т. е.

n2ε2

nε2

доказана справедливость неравенства (4.3.1). Переходя в этом неравенстве к пределу при n →∞, получаем равенство (4.3.2).

Закон больших чисел утверждает, что среднее арифметическое случай ных величин при возрастании их числа обладает свойством статистической устойчивости, т. е. сходится по вероятности к н е с л у ч а й н о й величине

— среднему арифметическому математических ожиданий этих случайных величин. Практическое применение закона больших чисел состоит в том, что среднее арифметическое, вычисленное по достаточно большому числу ре зультатов измерений какой либо величины, будет сколь угодно близко к из меряемой величине.

Статистическая устойчивость относительной частоты появления успеха в серии независимых испытаний доказывается в следующей теореме.

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. Если вероятность успеха в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p , то для произвольного сколь угодно малого ε>0 справедливо предельное равенство

	m


lim P		−p	<ε	=1 ,	(4.3.3)
	n
n→∞

где m — число успехов в серии из n испытаний.

Доказательство. Рассмотрим случайные величины X1, X2 , …, Xn , определяемые по сле дующему правилу:


	1, если произошел успех в i м испытании [с вероятностью p],
Xi	=
	0, если не произошел успех в i м испытании [с вероятностью (1−p)].
	n
Тогда MXi =p, DXi =p(1−p), m = ∑Xi . Поскольку 0 p		1 , дисперсии случайных ве
	i=1
личин Xi ограничены сверху единицей (так как DXi =p(1−p)		1 ), и можно воспользоваться
теоремой Чебышёва (4.3.2), согласно которой

	m				m		np


lim P		−p	<ε	= lim P		−

n→∞	n			n→∞	n n

что и требовалось доказать.

		n		n
		n		n

		∑Xi		∑MXi
		∑Xi		∑MXi
		i=1		i=1
			−			=1,
<ε = lim P		n	−	n	<ε	=1,
	n→∞
	n→∞

Теорему Бернулли, очевидно, можно записать и в форме, аналогичной (4.3.1):

	m			p(1−p)


P		−p	<ε 1−		.	(4.3.4)
	n			nε2

Если для некоторой последовательности случайных величин вместо схо димости по вероятности имеет место сходимость почти наверное:

n		n
∑Xi	п. н.	∑MXi
i=1	п. н.	i=1
	→		,
n	→	n	,
n		n

то говорят, что такая последовательность удовлетворяет усиленному закону больших чисел.

Задачи

398. Последовательность некоррелированных случайных величин X1, X2, X3,… определяется по следующему правилу: случайная величина Xi

принимает значения − n, 0, n с вероятностями 1/n, 1 – 2/n, 1/n соответст

венно. Доказать, что для этой последовательности выполняются условия теоре мы Чебышёва.

Доказательство. Условия теоремы Чебышёва выполнены, поскольку MXi =0, DXi =2 .

399. Для определения среднего дохода налогоплательщиков города нало говой инспекцией была проведена проверка 250 жителей этого города, отобран ных случайным образом. Оценить вероятность того, что средний годовой доход

250

жителей города отклонится от среднего арифметического X =∑Xi /250 годо

i=1

вых доходов выбранных 250 жителей не более, чем на 1000 руб., если известно, что среднее квадратичное отклонение годового дохода не превышает 2500 руб.

Решение. Согласно неравенству (4.3.1), которым можно пользоваться, поскольку все

∑Xi

∑MXi

2500 2500

i=1

−

>1−

=1−

=0,975 .

DXi (2500) , P

1000

250 1000 1000

1000

400.

Доказать,

что для последовательности некоррелированных случай

ных величин X1, X2, X3,…, определяемых рядом распределения

−a

n +1

2n +1 2n +1

выполняется усиленный закон больших чисел.

401.

Доказать,

что для последовательности некоррелированных случай

ных величин X1, X2, X3,…, таких что MXi

=a, DXi b (i = 1, 2, 3, …), выполняется

усиленный закон больших чисел.

§4.4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

4.4.1.Т е о р е м ы Л е в и , Л я п у н о в а и Л и н д е б е р г а

Законы больших чисел устанавливают факт приближения среднего зна чения большого числа случайных величин к некоторым постоянным в виде сходимости последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в ре зультате суммарного действия случайных величин. Центральная предельная теорема — это общее название группы теорем, утверждающих, что достаточ но большая сумма сравнительно малых случайных величин распределена приближенно по нормальному закону.

Практическое значение центральной предельной теоремы велико — она составляет теоретико вероятностную основу методов м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к и.

ТЕОРЕМА ЛЕВИ. Если независимые случайные величины X1, X2,…, Xn ,… рас пределены по одному и тому же закону с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением σ, то при n→∞ случайная величина

∑(Xi −a)

Zn = i=1 σ

сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0;1) :

Zn N(0;1) .

Доказательство. Пусть gY(t) = MetY — характеристическая функция случайных величин Yi = Xi – a (так как законы распределения этих случайных величин одинаковы, то и характе ристическая функция у всех них одна и та же). Напишем разложение этой функции в р я д М а к л о р е н а:

Y t

Y t (Y t)2

(Y t)3

θY t

(t) =M e

=M 1+

где θ (0;1) .

При этом, поскольку

M(Yit) =tMYi =tM(Xi −a) =t 0 =0, M((Yit)2 )=t2MYi2 =t2 (MYi2 =t2 (MYi2 −(MYi )2 )=t2DYi =t2 (D(Yi +a))=t2DXi =t2σ2 ,

получаем, что

M(Y t) M((Yit)2 )

(Y t)3

θY t

t2σ2

(Y t)3

θY t

(t) =M(1)+

=1+

(Y t)3

θY t

где δ(t) =M

Найдем теперь характеристическую функцию случайной величины

−02 )=

=1+t2σ2 +δ(t), 2!

∑(Xi −a)

∑Yi

Zn =

i=1

= i=1

σ n

Имеем:

∑Yi

tYi

t i=1

(t) =M e

=M e

∏

Znt

σ n

i=1

и поскольку математическое ожидание произведения независимых случайных величин рав но произведению их математических ожиданий,

tYi

=∏(

σ n )=∏gY

gZ (t) =M ∏e

M e

i=1

σ n

Здесь

2 2

t σ

=1+

+δ

2σ n

2n σ

θtYi

σ n



						θtYi
		3
	t	3
			3
			3			σ n
=	3			M(Yi	e		).
	3		n
	6σ n		n

Примем дополнительное н е о б я з а т е л ь н о е п р е д п о л о ж е н и е, упрощаю щее доказательство. Будем считать, что случайные величины Yi ограничены в совокупности:

|Yi| < A, i = 1, 2, 3, …, тогда при |t| < T

θtYi

t |

(

σ n

)

M(Yi

n 6σ n n

6σ n n

(

)

+δ

=1+

1+η

(t) ,

σ n

(

σ n )

(

σ n )

2n A3 | t |3

| t

ηn

(t) =

M e

→0

6σ n n

3σ

равномерно по t.

Это означает, что

(t) =

→

n→∞

т. е. последовательность характеристических функций случайных величин Zn сходится рав номерно по t к характеристической функции случайной величины N(0; 1) , значит, по теоре ме непрерывности (см. § 4.2) Zn N(0;1) , что и требовалось доказать.

Приведем строгую формулировку двух более общих теорем (без доказа тельства).

Рассмотрим последовательность произвольных независимых случайных величин X1, X2,…, Xn ,…, и пусть

MXi =ai , DXi =σ2i .

Говорят, что для этой последовательности случайных величин выполня ется у с л о в и е Л я п у н о в а, если

	n
	∑M \| Xi −ai \|3			=0 .
lim	i=1				(4.4.1)
lim	n		3/2		(4.4.1)
n→∞	n		3/2
		2
	∑	σi
		σi
	i=1
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА. Если независимые случайные величины					X1, X2,…, Xn

удовлетворяют условию Ляпунова (4.4.1), то случайная величина

∑(Xi −MXi )

Zn = i=1 n

∑σ2i

i=1

сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0;1) :

Zn N(0;1) .

С м ы с л у с л о в и я Л я п у н о в а состоит в том, что при его выполне нии дисперсия каждой случайной величины Xi составляет лишь м а л у ю ч а с т ь в общей дисперсии суммы X1 + X2 + ·· · + Xn. Если бы это было не так, а, например, величина X1 имела бы существенно больший разброс, чем остальные величины X2, X3, …, Xn, то закон распределения суммы X1 + X2 + ·· · + Xn опреде лялся бы в основном величиной X1, и тогда ожидать нормального распределе ния суммы X1 + X2 + ·· · + Xn не было бы оснований. Если же все случайные вели чины X1, X2, …, Xn вносят в дисперсию суммы X1 + X2 + ·· · + Xn приблизительно равноправный вклад, то сумма будет распределена по нормальному закону.

Говорят, что для этой последовательности случайных величин выполня ется у с л о в и е Л и н д е б е р г а, если для любого τ > 0

	n	∫ (xi −ai )2 fi (xi )dxi
	∑	∫ (xi −ai )2 fi (xi )dxi
	i=1	\|x −a \|>τb	=0 ,	(4.4.2)
lim		n	=0 ,	(4.4.2)
		i i n

n→∞	∑σ2i
	∑σ2i
	i=1
n
где bn = ∑σ2i
i=1
ТЕОРЕМА ЛИНДЕБЕРГА. Если независимые случайные величины X1, X2,…, Xn

удовлетворяют условию Линдеберга (4.4.2), то случайная величина

∑(Xi −MXi )

Zn = i=1 n

∑σ2i

i=1

сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине N(0;1) :

Zn N(0;1) .

С м ы с л у с л о в и я Л и н д е б е р г а таков. В знаменателе дроби стоит сумма дисперсий случайных величин X2, X3, …, Xn, а в числителе — сумма «хвостов» этих дисперсий. Когда условие Линдеберга выполняется, говорят, что «хвосты» дисперсий «легкие».

Теорема Линдеберга является наиболее общей из приведенных форму лировок центральной предельной теоремы: и из условий теоремы Леви, и из условия Ляпунова следует условие Линдеберга.

Таким образом, в условиях центральной предельной теоремы

P{Z <z}→n→∞	F	(z) =	1	+Φ	(z) .

n	Z		2	0

В ряде задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда исследуемая случайная величина является суммой большого числа независимых слагае мых, влияние каждого из которых на сумму очень мало. Такими случайными величинами являются, например, капиталы банков и страховых компаний (доля каждого отдельно взятого вкладчика не зависит от доли других вклад чиков и относительно мала, но в сумме все эти доли весьма весомы), выручка торговых предприятий (покупатели действуют независимо друг от друга и по купают товары на относительно небольшие суммы) и др. — мы уже говорили об этом в п. 2.5.3.

На основании центральной предельной теоремы часто можно до наблю дения того или иного явления сказать, что соответствующая случайная вели чина должна иметь нормальное распределение или близкое к нему.

Пусть

∑Xi

x =

u −a

i=1

σ/ n

тогда

∑Xi

i=1

−a

i=1

P{X <u} =P

<u =P

<x =

(4.4.3)

σ/

−na

∑Xi

u −a

i=1

<x →n→∞

+Φ0 (x) =

+Φ0

σ n

σ/

т. е.

выборочное среднее

при n →∞ сходится по распределению к случай

ной

величине, распределенной

по

нормальному

закону

с параметрами

=a, σ

=σ/ n .

Задачи

402. Суточная выручка в универсаме равна в среднем 100 000 руб. и в 90% случаев отличается от 100 000 руб. не более, чем на 10 000 руб. Найти вероят ность того, что очередная суточная выручка окажется в пределах от 80 000 до 120 000 руб.

Решение. Пусть X — суточная выручка. Как было отмечено выше, покупатели действуют независимо друг от друга и покупают товары на относительно небольшие суммы Xi X , но

покупателей в районе достаточно много, так что можно считать, что их количество n →∞. По этому суммарная выручка будет иметь нормальное распределение с некоторыми параметра

ми a и σ. Поскольку для нормального распределения a = MX, то по условию a = MX = 100 000.

Также в условии сказано, что

P{90 000 <X <110 000} =0,9 . Но P{90 000 < X < 110 000} =

110 000−a

90 000−a

10 000

−10 000

10 000

откуда

=Φ0

−Φ0

=Φ0

−Φ0

2Φ0

Φ0

=0,45

и по таблице можно найти

10 000

≈1,65 . Искомая вероятность P{80 000 < X < 120 000} =

120 000

−100 000

80 000−100 000

20 000

=2Φ

(2 1,65)=2Φ (3,3)=2 0,4995 =0,999 .

=Φ

−Φ

=2Φ

403.Банкомат выдает стандартные суммы в 500, 100 и 50 долл., причем первые составляют 10%, а последние — 60% всех выдач. В среднем банкомат производит 100 выдач в сутки. Определить размер денежной суммы, которую необходимо заложить в банкомат утром, чтобы этой суммы с вероятностью 0,9 хватило для выдачи наличности вкладчикам до следующего утра.

404.При составлении статистического отчета нужно было сложить 104

чисел, каждое из которых было округлено с точностью до 10–m. Предполагая, что ошибки, возникающие при округлении, независимы в совокупности и рас пределены равномерно на отрезке [–0,5·10–m; 0,5·10–m], определить пределы, в которых с вероятностью, большей 0,987, будет лежать суммарная ошибка.

405. Торговец газетами ходит по вагонам электропоездов. В каждом из ва гонов он может продать газету с вероятностью 1/3. Случайная величина X — число вагонов, в которые заходил торговец прежде, чем продал первые 100 газет. Найти распределение случайной величины X.

Решение. Пусть Yi — число вагонов, которые обошел торговец за время от продажи (i – 1) й газеты до продажи i й. Тогда все Yi (i = 1, 2, …, n) имеют одинаковый (геометриче

ский) закон распределения, X =∑Yi . Согласно центральной предельной теореме, при

i=1

большом n случайная величина X имеет нормальное распределение. Предоставляем чита телю показать, что параметры этого распределения равны a =300, σ=30 .

406.Построить на одном рисунке графики композиций двух, трех, четырех одинаковых равномерных распределений. На том же рисунке построить график плотности нормального распределения. Убедиться, что при увеличении числа сла гаемых графики сближаются.

407.Построить на одном рисунке графики композиций двух, трех, четырех одинаковых показательных распределений. На том же рисунке построить график плотности нормального распределения. Убедиться, что при увеличении числа сла гаемых графики сближаются.

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019111.1 Кб11tezisy_obs_kurs_gudkov.doc
#
10.11.201941.37 Кб9THE FILM PRODUCER..docx
#
13.02.201573.22 Кб68THE FILM PRODUCER1.doc
#
13.02.201597.28 Кб19Tonya_IYuL.doc
#
11.03.20164.8 Mб49Torelli_-_FinalCut_Pro.pdf
#
13.02.20151.83 Mб88TVMS-3.pdf
#
09.11.201857.86 Кб11uridp330.doc
#
13.02.2015160.8 Кб53VGIK_02_Block_Artemov-1_ OK.pdf
#
13.02.2015413.7 Кб219VGUK_-_PROGRAMMA-METODIChESKOE_POSOBIEdlya_4k.doc
#
13.02.201539.94 Кб43vopr-color.doc
#
13.02.201515.91 Кб30Voprosy_k_ekzamenu.docx