TVMS-3

т. е. для любого α [0;1] НОРМРАСП(НОРМСТОБР(α); 0; 1; ИСТИНА)) совпадает с α. Поэтому uгγ/2 можно найти так: uγг/2 = НОРМСТОБР((1 + γ)/2) и вообще для любо го α [0;1] uα = НОРМСТОБР(α+1/2).

Предположим, что выборка X1, X2,…, Xn взята из генеральной совокупно сти, соответствующей индикатору некоторого события (успеха), тогда смысл элементов выборки таков:

n

При этом MXi =p, DXi =p(1−p) , число m =∑Xi можно считать количе

i=1

ством успехов в серии из n испытаний Бернулли, а выборочное среднее X совпадает с относительной частотойˆp :

n

X = ∑i=1 Xi = m =ˆp ,

nn

поэтому

Истинное значение вероятности успеха p в единичном испытании нам не известно, но при большом объеме выборки n можно в качестве p взять при ближенное значение — относительная частотаˆp =m/n , являющуюся состоя тельной, несмещенной и эффективной оценкой вероятности (см. п. 5.2.1). В ре

который с вероятностью γ накроет истинное значение вероятности успеха p в единичном испытании.

На практике точное значение среднего квадратичного отклонения σ не известно, но по выборке можно получить его состоятельную, несмещенную и (для нормальной случайной величины) эффективную оценку

73

При большом объеме выборки n оправдано использование s в качестве приближенного значения σ в доверительном интервале (5.3.2) для математи ческого ожидания a . Если же объем выборки не очень велик ( n <30), так де

Оказывается, распределение величины Tn−1 не зависит ни от X , ни от s , а зависит только от числа n −1, называемого числом степеней свободы. Это распределение называется р а с п р е д е л е н и е м С т ь ю д е н т а (см.

п. 2.5.5). Для этого закона распределения составлены таблицы значений tα; k, при которых P{|Tk |>tp;k }=p , а в пакете Microsoft Excel есть функция

tp; k = СТЬЮДРАСПОБР(p; k).

Поэтому при небольшом объеме выборки интервальная оценка (5.3.2) для математического ожидания переходит в оценку

где X — выборочное среднее, s — стандартное отклонение, а t1–гγ; n–1 = = СТЬЮДРАСПОБР(1 – γ; n – 1).

Для удобства сведем рассмотренные интервальные оценки основных чи словых характеристик и параметров случайных величин в табл. 5.3.1.

Т а б л и ц а 5.3.1

Интервальные оценки основных числовых характеристик и параметров случайных величин

ратичное отклонение σ=8 тыс. руб. Построить 90% ный доверительный ин

74

тервал для математического ожидания суммы, находящейся на счете случай но выбранного клиента.

Решение. По условию γ =90% =0,9 . При этом uγ/2 = u0,45 =1,65 , и по формуле (5.3.2) по

446.Из некоторой отрасли было случайным образом отобрано 20 ком

паний. По выборочным данным оказалось, что выборочное среднее для срока, прошедшего с момента основания компании, составило x =6 лет при исправ ленном выборочном среднем квадратичном отклонении s =2 г. Построить 99% ный доверительный интервал для среднего времени, прошедшего с момента основания компании, для всех компаний в отрасли.

447.В институте 500 студенческих групп. Из них было случайным об разом отобрано 20 групп. По выборочным данным оказалось, что в среднем в

группе учится 22 девушки при исправленном выборочном среднем квадра тичном отклонении s =5 . Пользуясь 95% ным доверительным интервалом, оценить число девушек во всем институте.

448.Маркетинговое агентство хочет установить степень известности некоторого продукта в данном городе. Для этого было опрошено 400 человек, 80 из которых сказали, что знакомы с продуктом (остальные — что незнако мы). Построить 95% ный доверительный интервал для степени известности продукта среди всех жителей города.

75

н е п р о т и в о р е ч и т результатам испытаний; однако таким же свойством, наряду с H0 , могут обладать и другие гипотезы. Таким образом, приняв или отклонив гипотезу H0 , можно оказаться правым, а можно совершить ошибку первого или второго рода (табл. 5.4.1).

К одной и той же нулевой гипотезе H0 можно предложить несколько раз личных альтернативных гипотез H1 , например, нулевой гипотезе H0 : MX =a0 о

равенстве математического ожидания случайной величины конкретному зна чению a0 могут соответствовать такие альтернативные гипотезы:

H1 : MX >a0; H1′: MX <a0; H1′′: MX ≠a0 .

Поэтому в каждом конкретном случае важно правильно выбирать аль тернативную гипотезу, удобную для принятия содержательного решения.

Критерии проверки основных параметрических гипотез приведены в табл. 5.4.2, а идея вывода критериев проверки гипотез содержится в задаче 449.

Задачи

449. Из многолетнего опыта руководитель отдела продаж знает, что в среднем каждые три из десяти визитов коммерческого представителя к пред полагаемым клиентам заканчиваются подписанием контракта. Продавец Ива нов за последний месяц провел 100 встреч с предполагаемыми клиентами и заключил 48 договоров, после чего потребовал повышения зарплаты. Опреде лить, какое решение должен принять начальник Иванова: «Иванов — выдаю щийся продавец» либо «Иванов — такой же, как все остальные, и его высокие результаты объясняются только случайностью».

Решение. Выберем уровень значимости α = 0,05, т. е. допустим возможность ошибки первого рода с вероятностью 0,05. Будем проверять нулевую гипотезу H0: p = p0, состоящую в том, что Иванов — такой же, как все остальные, т. е. вероятность заключения договора Ивановым равна средней вероятности заключения договора p0 =3/10 =0,3 . В качестве аль тернативной выберем гипотезу H1: p > p0, соответствующую тому, что Иванов выдающийся продавец, и у него вероятность заключения контракта выше, чем у остальных его коллег.

В предположении справедливости нулевой гипотезы (т. е. если p = p0) можно записать, согласно (5.3.3), формулу

79