TVMS-3

Глава 4. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 4.1. НЕКОТОРЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СЛЕДСТВИЯ

При доказательстве многих теорем теории вероятностей и математиче ской статистики используется ряд вспомогательных неравенств. Впрочем, эти неравенства используются не только в теории вероятностей и математической статистике, но и повсеместно в математике. Читатели наверняка знакомы с большинством из приводимых неравенств из курса математического анализа.

НЕРАВЕНСТВО МАРКОВА. Если неотрицательная случайная величина X име ет конечное математическое ожидание MX, то для любого ε > 0 справедливо

неравенство

Доказательство. Проведем доказательство для дискретных случайных величин. В вы ражении для математического ожидания MX =∑xi pi отбросим из суммы в правой части те

формулу (4.1.1) для д и с к р е т н ы х неотрицательных случайных величин. Справедливость ее для п р о и з в о л ь н ы х неотрицательных случайных величин следует из того, что любая случайная величина может быть приближена монотонно неубывающей последовательностью дискретных случайных величин, и математическое ожидание случайной величины определяет ся как предел последовательности соответствующих математических ожиданий (см. п. 2.6.2).

Из неравенства Маркова (4.1.1) следует

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА. Если случайная величина X имеет конечные ма

Также из неравенства Маркова (4.1.1) следует, что если математическое ожидание неотрицательной случайной величины X равно нулю, то эта слу чайная величина равна нулю с вероятностью, равной единице.

Доказательство. Пусть X 0, MX = 0, тогда для любого ε > 0 P{X>ε} MX /ε=0 , зна чит, P{X > 0} = 0, и учитывая, что X 0, получаем, что P{X = 0} = 1 – P{X > 0} = 1, что и тре

бовалось доказать.

Теперь мы можем провести доказательство, обещанное в п. 2.2.2.

Доказательство второй части утверждения о формуле для дисперсии константы (2.2.20).

Покажем, что если для некоторой случайной величины X выполняется равенство DX = 0, то

3

это означает, что M[Y2] = 0, откуда следует, что Y = 0 с вероятностью, равной единице (по следствию из неравенства Маркова), и тогда справедливость неравенства Коши — Буняков ского — Шварца также не вызывает сомнений.

Теперь мы можем провести еще два доказательства, обещанных ранее — в п. 2.10.2.

Доказательство нормированности коэффициента корреляции (3.2.20). Пусть случайные величины X и Y имеют нулевые математические ожидания, тогда MX = 0, MY = 0, DX = = M[X 2] – (MX)2 = M[X2], DY = M[Y2] – (MY)2 = M[Y2], cov(X, Y) = M[XY] – MXMY = M[XY]. Из не

чайных величин X и Y коэффициент корреляции лежит в границах [–1; 1], что и требовалось доказать.

Доказательство второй части утверждения о формуле для коэффициента корреляции линейно связанных случайных величин (3.2.22). Покажем, что если для каких либо случайных

величин X и Y |ρ(X, Y)| = 1, то существуют такие числа a, b R, a ≠0, что P{Y = aX + b} = 1. Пусть

ρ(X, Y) = 1 имеем: D(Y−X) =D Y+D X−2σ σ ρ(X, Y) =2[1−ρ(X, Y)] =0 , откуда по (недавно до

YX

казанной) второй части утверждения о формуле для дисперсии константы получаем, что

При решении задач могут оказаться полезными еще два неравенства.

ГЁЛЬДЕРА. Для любых случайных величин X, Y при α (0; 1)

справедливо неравенство

НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО. Для любых случайных величин X, Y при r 1

Доказательство этих неравенств оставляем читателю в задачах 392—393.

Задачи

386. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2 000 000 ден. ед., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 000 ден. ед., равна 0,8. Оценить с помощью неравенства Маркова число вкладчиков банка.

Решение. Пусть n — число вкладчиков, а (неотрицательная) случайная величина X

387.Для новогоднего праздника Петя должен сделать гирлянду из 400 электрических лампочек. Он решает включить их параллельно. Лампочки оказа лись очень низкого качества — вероятность того, что какая либо из них погаснет во время праздника, составляет 0,5. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что число горящих лампочек будет заключено между 100 и 300.

388.Инвестор покупает ценные бумаги за счет кредита, взятого под i про центов годовых под залог своей недвижимости. Годовая доходность ценных бу маг X представляет собой случайную величину с математическим ожиданием

a > i и средним квадратичным отклонением σ. Оценить вероятность того, что ин

вестор не сможет вернуть кредит: а) не имея никаких сведений о характере за кона распределения случайной величины X, зная только, что она положительна; б) предполагая случайную величину X распределенной по нормальному закону.

389.Средние ежедневные расходы на покупку канцелярских принадлеж ностей для офиса банка составляют 1000 руб., а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 руб. Оценить вероятность того, что расходы на канцелярские принадлежности в любой наугад выбранный день не превысят 2000 руб, используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышёва.

390.По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет (т. е. вероятность дожития до 50 лет равна 0,87). С помощью неравенст ва Чебышёва оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (отно сительная частота) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности не бо лее, чем на 0,04 (по модулю).

391.Пусть X — положительная случайная величина с конечным матема

тическим ожиданием. Доказать, что 1/MX M(1/ X) .

392.Доказать неравенство Гельдера (4.1.6).

393.Доказать неравенство Минковского (4.1.7).

394. Доказать, что для любых случайных величин X, Y при α 1 справед ливо неравенство M |X +Y|α M |X |α +M |Y|α .

6

7

8

§ 4.2. ВИДЫ СХОДИМОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Мы же встречались ранее с примерами сходимости случайных величин: когда в п. 2.6.2 определяли и н т е г р а л Л е б е г а, мы рассматривали после довательность случайных величин {Xn}, которая сходится к случайной вели

чине X равномерно по ω. Рассмотрим другие виды сходимости случайных ве

личин.

Последовательность случайных величин X1, X2,…, Xn ,… сходится почти наверное к случайной величине X , если

P {nlim→∞ Xn = X}=1.

Сходимость почти наверное обозначается так:

Xn п. н.→X .

Последовательность случайных величин X1, X2,…, Xn ,… сходится по веро ятности к случайной величине X , если для любого ε>0

lim P {| Xn −X |<ε}=1.

n→∞

Сходимость по вероятности обозначается так:

Xn P→X .

Последовательность случайных величин X1, X2,…, Xn ,… сходится по распределению (или слабо сходится) к случайной величине X , если во всех точках x , в которых функция распределения FX (x) непрерывна,

lim FX (x) =FX (x)

n→∞ n

равномерно по x.

Сходимость по распределению обозначается так: Xn X или Xn D→X .

Примером сходимости по распределению является формула Пуассона (1.6.5). Различные виды сходимости обладают следующими с в о й с т в а м и: