TVMS-3

ˆν = Xk

k

и

ˆµ =(X −X)k

k

соответственно.

С в о й с т в а выборочных моментов аналогичны свойствам соответст вующих теоретических моментов (2.8.3)—(2.8.7).

В качестве выборочных оценок асимметрии (2.8.8) и эксцесса (2.8.9) можно взять выборочную асимметрию

ˆ =ˆµ

A 3

X σ3

ˆ

и выборочный эксцесс

ˆ =ˆµ −

E 4 3

X σ4

ˆ

соответственно; эти оценки являются смещенными, однако их можно подпра вить и получить несмещенные оценки AX и EX — исправленную выборочную асимметрию

= n(n −1)ˆ

AX n −2 AX

и исправленный выборочный эксцесс

Отношение

ˆ = sX

VX X

называется выборочным коэффициентом вариации. Выборочный коэффици ент вариации оценивает относительный разброс значений случайной величи ны вокруг математического ожидания.

Задачи

433. В условиях задачи 432 требуется с помощью программы «Описа тельная статистика» пакета Microsoft Excel вычислить выборочные характери стики: среднее, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду, медиану.

Решение. Для вычисления в ы б о р о ч н ы х х а р а к т е р и с т и к воспользуемся программой «Описательная статистика», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel.

В окне ввода исходных данных программы «Описательная статистика» (рис. 5.2.1) ука жем входной интервал (ссылку на ячейки A1:A101, содержащие данные об объеме продаж с заголовком; так как первая строка входного интервала содержит заголовок, отметим фла жок «Метки»), установим флажок для генерации итоговой статистики — набора основных вы борочных характеристик. Укажем, что исходные данные помещены в столбце, а результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист.

61

Рис. 5.2.1. Окно ввода данных программы «Описательная статистика»

В результате работы программы «Описательная статистика» получены значения выборочных характеристик ежедневного объема продаж (рис. 5.2.2):

Значения некоторых характеристик могут изменяться при переходе от несгруппиро ванных данных к сгруппированным (интервальному вариационному ряду). Такими величи

«Описательная статистика» вычисляет все характеристики п о н е с г р у п п и р о в а н н ы м д а н н ы м. Между тем, указанные две характеристики несут в себе гораздо больше смысла, если их вычислять п о и н т е р в а л ь н о м у в а р и а ц и о н н о м у р я д у (по лученному в задаче 432 — см. табл. 5.1.3) при помощи формул (5.119) и (5.1.20) соответственно:

62

тельная статистика» пакета Microsoft Excel требуется, заменив параметры нор мального закона распределения их выборочными характеристиками, скоррек тированными на поправку Шеппарда, рассчитать и построить графики функ ции плотности и функции распределения нормального закона, «наложив» эти графики соответственно на полигон и кумуляту.

63

Задачи

439.По выборке x1, x2,…, xn найти оценку ˆλ параметра λ случайной

величины, распределенной по закону Пуассона: а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

Решение. а) Известно, что начальный момент первого порядка распределения Пуассона равен ν1 =MX =λ, откуда λ =ν1 =MX . Поэтому оценкой метода моментов для параметра λ

Чтобы функция l(λ) достигала максимального значения, необходимо, чтобы ее произ водная l′(λ) =0 , а вторая производная l′′(λ) <0 . В нашем случае

стоит положительное число (поскольку генеральная совокупность распределена по закону Пуассона и ее элементы не могут принимать отрицательных значений), в знаменателе дроби

также стоит положительное числоˆλ2 , а перед дробью стоит знак «минус».

ммп

440.Случайная величина X =U(a;b) . По выборке x1, x2,…, xn найти

оценки параметров a и b: а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

68

Так как a -min{x1, x2 ,…, xn } , а b .max{x1, x2 ,…, xn } , то максимум функции L достига ется при aммп =min{x1, x2 ,…, xn } и bммп =max{x1, x2 ,…, xn } .

441.Построить по выборке x1, x2,…, xn оценку параметра p геометри

ческого распределения а) методом моментов; б) методом максимального прав доподобия.

442.По выборке x1, x2,…, xn найти оценку параметра µ случайной ве

личины, распределенной по показательному закону: а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

443.Случайная величина X = N(a;σ) . По выборке x1, x2,…, xn найти

оценки параметров a и σ: а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

444. По данным социологического опроса получено распределение чис ла групп по числу респондентов в группе, отрицательно отзывающихся о но вой рекламной политике фирмы (в каждой группе по 10 респондентов):

Предполагая, что число респондентов в группе, не поддерживающих но вую рекламную политику, распределено по закону Пуассона, оценить пара метр λ этого закона и определить долю групп, в которых все респонденты поддерживают новую рекламную политику.

69