TVMS-3

ˆ

F(x)

431.По выборке 11; 11; 11; 9; 9; 5; 10; 10; 10; 14 построить вариационный ряд, статистический ряд распределения, полигон частот, гистограмму, куму ляту, вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию.

432.Служба маркетинга оценивает дилеров фирмы по объему продаж. Сведения об объеме ежедневных продаж товара (в тыс. ден. ед.) дилером за последние 100 дней приведены в табл. 5.1.2.

Т а б л и ц а 5.1.2

Объем проджаж в задаче 432

Требуется построить интервальный вариационный ряд; полигон и гисто грамму (на одном рисунке); кумуляту (на другом рисунке).

Решение. Построим интервальный вариационный ряд. В ячейки A1:A101 рабочего лис та Microsoft Excel введем данные об объеме продаж из табл. 5.1.2 (в первой строке — заголо вок, как показано на рис. 5.1.3).

Ширина интервала

∆= x(max) −x(min)

1+3,322lg n

(здесь x(max) — максимальный объем продаж, а x(min) — минимальный, расчет ∆ производится с числом знаков после запятой, на один большим чем в исходных данных). Границы интерва лов (aj; aj+1) рассчитываются по правилу: a1 = x(min) – ∆ / 2, a2 = a1 + ∆, a3 = a2 + ∆, …; фор мирование интервалов заканчивается, как только для конца aν+1 очередного интервала вы полняется условие aν+1 > x(max). Расчет границ интервалов проиллюстрирован рис. 5.1.3.

Для расчета интервальных частот и построения полигона и гистограммы воспользуем ся программой «Гистограмма» из надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel. Выберем в ме ню «Сервис | Анализ данных» Microsoft Excel пункт «Гистограмма» (если пункт «Анализ данных»

в меню «Сервис» отсутствует, то это означает, что надстройка «Анализ данных» не установ лена, — чтобы ее установить, необходимо отметить флажок «Пакет анализа» в списке над строек пакета Microsoft Excel, который вызывается с помощью выбора пункта меню «Сер вис | Надстройки»).

51

б) результаты расчетов

Рис. 5.1.3. Расчет границ интервалов

Вокне ввода исходных данных программы «Гистограмма» (рис. 5.1.4) укажем входной интервал (ссылку на ячейки A1:A101, содержащие данные об объеме продаж; выделять заго ловок столбца и отмечать флажок «Метки» не будем), интервал карманов (ссылку на ячейки C7:C16, содержащие правые границы интервалов), установим флажок «Метки», которые оз начает, что в первой строке каждого из диапазонов A1:A101 и C7:C16 содержится текстовый заголовок. Укажем, что результаты работы программы необходимо вывести на новый рабо чий лист. Установим флажок для генерации интегральных процентных отношений — значений выборочной функции распределения, также установим флажок автоматического вывода графика — гистограммы и кумуляты. Результаты работы программы «Гистограмма» пред ставлены на рис. 5.1.5.

Встолбце «Правые границы» на рис. 5.1.5, а указаны правые границы интервалов, в столбце «Частота» — интервальные частоты, а в столбце «Интегральный %» — накопленные частоты, рассчитанные программой. На рис. 5.1.5, б представлен график, построенный про граммой, — на одной диаграмме построены гистограмма и кумулята (впоследствии мы раз делим этот график на два).

52

Рис. 5.1.4. Окно ввода данных программы «Гистограмма»

Правые границы Частота Интегральный %

б) графические результаты

Рис. 5.1.5. Результаты работы программы «Гистограмма»

Добавим к таблице, полученной в результате работы программы «Гистограмма» и уже содержащей правые границы интервалов (aj; aj+1) и интервальные частоты mj , столбцы, со держащие:

• левые границы интервалов;

53

55

56

57

§ 5.2.ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

5.2.1. С в о й с т в а т о ч е ч н ы х о ц е н о к

Статистикой называется любая функция γ= γ(X1, X2,…, Xn ) от элемен тов выборки X1, X2,…, Xn [на конкретной выборке x1, x2,…, xn эта статистика принимает конкретное значение γ= γ(x1,x2,…,xn ) ]. Очевидно, любая стати стика является случайной величиной, поскольку она является функцией слу чайных величин.

Оценкой θ числовой характеристики или параметра θ называется любая статистика θ=θ(x1, x2,…, xn ) , используемая в качестве приближенного значе ния θ.

Например, в качестве оценки параметра a =MX случайной величины X, распределенной по нормальному закону (с неизвестными параметрами), мож но использовать:

•результат единичного наблюденияˆa = X1 ;

•полусумму минимального и максимального элементов выборки:ˆa = X(min) +X(max) ;

2

•выборочную медиануˆa = Xmed ;

•выборочную модуˆa = Xm o d ;

• выборочное среднее и др.

Как определить, какая из этих оценок лучше?

Качество оценки определяется по выполнению следующих трех свойств: состоятельности, несмещенности и эффективности.

Прежде всего, от оценки θn хотелось бы требовать, чтобы по мере роста числа наблюдений она сходилась по вероятности к оцениваемому параметру, т. е. чтобы для любого сколь угодно малого ε>0 было справедливо предельное равенство

Также от «хорошей» оценки θn естественно требовать, чтобы она не со держала систематической ошибки, т. е. при любом фиксированном объеме вы борки n результат осреднения оценки по всем возможным выборкам данного

Оценка θn , обладающая свойством (5.2.2), называется несмещенной оцен% кой параметра θ.

Наконец, от оценки θn желательно требовать, чтобы ее дисперсия была минимальной в некотором классе оценок Θ:

58