Классификация понятий

Объем понятия раскрывается при помощи классификации. Классификация – это разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества.

Требования к классификации заключаются в том, что необходимо следовать определению, что подразумевают под разбиением множества на попарно непересекающиеся подмножества; проводить классификацию по одному основанию.

Так, не имеет смысла делить все треугольники в рамках одной классификации на тупоугольные и равнобедренные.

Часто классификация состоит из последовательного разбиения множества на два класса с помощью некоторого свойства. Это так называемое двучленное деление или «дихотомия».

В общем виде это выглядит так: Пусть дано некоторое множество A и свойство P(x), которым могут обладать некоторые элементы множества.

Тогда данное свойство делит множество A на два подмножества:

A¹ = { x | x A P(x) } – множество элементов исходного множества, обладающих данным свойством;

A² = { x | x A P(x) } – множество элементов исходного множества, не обладающих данным свойством.

По одному свойству произошло разбиение исходного множества на два класса A¹ и A². Понятно, что данные подмножества не пересекаются, а в объединении дают множество A.

Далее с помощью нового свойства Q(x) в множестве A¹ выделяются два подмножества:

A'¹ = { x | x A¹ Q (x) }

A"¹ = { x | x A¹ Q (x) }

И так далее. Эта последовательность разбиений заканчивается на каком-то A*, дальнейшее разбиение которого уже не рассматривается.

Примером такого разбиения может служить схема развития понятия числа:

				Действительные числа
			Рациональные числа		Иррациональные числа
		Целые числа		Дробные числа
	Целые неотрицательные числа		Целые отрицательные числа
Натуральные числа		нуль

Классификацию, проводимую с помощью разных оснований, следует проверять посредством диаграмм Эйлера-Венна, используя теоретические сведения о разбиении множеств с помощью одного, двух, трех свойств и т.п.

При проведении классификации по нескольким основаниям целесообразно использовать таблицы с двумя входами. Например, классификация понятия «параллелограмм» по сторонам и углам может выглядеть так:

Параллелограмм	Имеет прямой угол	Не имеет прямой угол
Равные смежные стороны	квадрат	ромб
Разные смежные стороны	прямоугольник	собственно параллелограмм (нет прямого угла, смежные стороны не равны)

Классификация понятий важна еще и потому, что при изучении математики важно овладеть не просто отдельными понятиями, а их системой.

Наглядно систему понятий позволяет изобразить ориентированная графовая структура, в которой вершинами являются понятия, рассматриваемые в некотором разделе или теме курса, а стрелками выделяются пары понятий, находящихся в отношении»понятие Х используется в определении понятия У»

Так, при знакомстве с понятием обыкновенной дроби возможно использовать структурную схему: