5семанглийскоеКалинина / третийкурс / решениезадачнапостроение

VIII. Группы задач на построение.

1. Решение групп задач с использованием вспомогательного треугольника.

Суть способа – построение вспомогательных треугольников и использование их свойств и вновь полученных элементов для окончательного решения задачи.

Анализ построения состоит из следующих этапов:

1. Ищи при анализе вспомогательный треугольник.

2. Если появятся новые элементы, с помощью которых можно уже построить треугольник АВС, то цель достигнута.

3. Если этого не произойдет, то, может быть, можно построить еще один вспомогательный треугольник, который даст недостающие элементы.

Разберём суть метода на примерах.

Задача 1.Построить равнобедренный треугольник АВС (b=c) по a, h_b.

Решение:

Ищем вспомогательный треугольник. Очевидно, что таким треугольником удобно считать треугольник CDB.

Это даст угол С, следовательно, и угол АВС. Итак, есть а, угол В, угол С, значит можно построить треугольник АВС. Схематично это будем записывать так:

1. (а, h_b) → Δ CDB → < C.

2. (a, < B, < C) → Δ ABC.

Задания для самостоятельного решения:

Используя рассуждения, аналогичные приведенным, рекомендуем построить равнобедренный треугольник (b=c) по следующим данным:

а) < А, h_b;

б) < В, h_с;

в) b, h_b;

г) < В, h_b;

д) b, h_а;

е) < С, h_b.

Задача 2.Построить треугольник по радиусу r вписанной окружности, углу А и углу В.

Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС.

1. (r; ½ < А) → Δ AID → |AD|;

2. (r; ½ < В) → Δ ВID → |ВD|;

3. (|AD| + |ВD| = |AВ|) → (с, < А, < В) → Δ ABC.

Задания для самостоятельного решения:

1. Построить треугольник по следующим элементам:

а) a, h_c, h_b; б) a, h_а, h_b; в) a, m_a, m_b;

г) < A, l_A, b; д) R, h_а, m_a; е) a, R, h_b;

ж) b, h_b, m_b (где m – медианы, l – биссектрисы, h – высоты).

Самостоятельно:

2. построить ромб ABCD по диагонали BD и высоте BM. (Δ BHD → < BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

3. построить трапецию по четырем сторонам.

   2. Решение групп задач с опорой на основную.

      1. Основная задача:

Построить треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.

2. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам.

3. Построить ромб по двум диагоналям.

4. Построить прямоугольник по двум неравным сторонам.

5. Построить параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

6. Построить прямоугольник по диагоналям и углу между ними.

   2. Основная задача:

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить равнобедренный треугольник по основанию и прилежащему углу.

2. Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.

3. Построить ромб по углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла.

4. Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине.

5. Построить квадрат по данной диагонали.

   3. Основная задача:

Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.

2. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.

   4. Основная задача:

Построить треугольник по трём сторонам.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

2. Построить ромб по стороне и диагонали.

3. Построить параллелограмм по двум неравным сторонам и диагонали.

4. Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям.

   5. Основная задача:

Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить равнобедренный треугольник по высоте и боковой стороне.

2. Построить равнобедренный треугольник по основанию и перпендикуляру, опущенному с конца основания на боковую сторону.

3. Построить параллелограмм по основанию, высоте и диагонали.

4. Построить ромб по высоте и диагонали.

5. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной из неё.

6. Построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне.

Литература:

1. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк “Геометрические построения на плоскости”, М, “Просвещение” 1955г.

2. Глейзер Г. И. “История математики в школе” IV – VI кл., М, “Просвещение”, 1981 г.

3. И. Гольденблант “Опыт решения геометрических задач на построение” “Математика в школе” № 3, 1946 г.

4. И. А. Кушнир “Об одном способе решения задач на построение” “Математика в школе” № 2, 1984 г.

5. А. И. Мостовой “Применять различные способы решения задач на построение” “Математика в школе” № 5, 1983 г.

6. А. А. Попова “Математика” Учебное пособие. “Челябинский государственный педагогический университет”, 2005 г.

7. Е. М. Селезнёва, М. Н. Серебрякова “Геометрические построения в I – V классах средней школы” Методические разработки. Свердловск, 1974 г.