Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
54
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
138.81 Кб
Скачать

Понятие. Объем и содержание понятия. Способы определения. Требования к определению понятий. Классификация.

Понятие – форма мышления, в которой выделяются и обобщаются объекты из множества других объектов на основе существенных признаков или свойств.

Каждое понятие объединяет в себе множество объектов или отношений (объем понятия) и характеристическое свойство, присущее всем элементам этого множества и только им (содержание понятия).

Так, понятие «треугольник» соединяет в себе множество всех возможных треугольников и характеристическое свойство – наличие трех сторон, трех вершин, трех углов.

Итак, каждое понятие характеризуется содержанием и объемом.

Содержание представляет собой совокупность всех существенных признаков – характеристическое свойство.

Объем это совокупность всех объектов, к которым относится термин, обозначающий понятие, множество этих объектов.

Выясним, что же такое существенный признак понятия.

Вспомним известное из школьного курса понятие «параллелограмм». Попытаемся назвать присущие этому понятию свойства, выясняя какие из свойств являются существенными, а какие нет.

Несущественные свойства

Существенные свойства

Иметь четыре стороны

Иметь две пары параллельных сторон

Иметь четыре угла

Иметь две пары равных сторон

Иметь две диагонали

Иметь центр симметрии

Диагонали пересекаются

Диагонали в точке пересечения делятся пополам

…….

………

Свойствами, записанными в левом столбце, обладает любой четырехугольник плоскости, а вот свойства правого столбца относятся только к такому четырехугольнику, который является параллелограммом.

Следовательно, свойства левого столбца не являются существенными, а вот свойства, записанные справа – существенные свойства или признаки параллелограмма.

Именно эти свойства позволяют узнать, является ли данный четырехугольник параллелограммом или нет.

Существенные свойства – это такие свойства, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны для выделения объекта из множества всех объектов.

Важно иметь в виду соотношение между объемом и содержанием понятия.

Так, если в содержание понятия «параллелограмм» добавим еще одно свойство, например «иметь один прямой угол», то получим новое понятие – «прямоугольник». Объем исходного понятия уменьшится.

Рассмотрим другое знакомое понятие – «окружность». Окружностью называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на данном расстоянии от заданной точки этой плоскости.

Уберем один признак – требование, что множество точек принадлежит плоскости.

Объем исходного понятия расширился, ибо новому определению «Множество точек, каждая из которых находится на данном расстоянии от заданной точки плоскости» отвечает не только понятие окружности, но и «сфера».

Следовательно, следует иметь в виду, что утрата одного существенного признака ведет к расширению объема, а введение нового признака влечет сужение объема рассматриваемого понятия.

Каким же образом раскрывается содержание понятия? Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Без математических определений нет математики. Прежде чем, что-либо обсуждать, надо точно знать, о чем идет речь. Это относится не только к математике, но и к любой области знаний.

Формализм математического метода основан на том, что в математических рассуждениях понятия разрешается использовать лишь в том смысле, какой заложен в них определением.

Польский математик Г. Штейнгауз отмечал: «Определение, по существу, сводится к тому, что вместо определенной комбинации старых символов используется новый символ…»

Итак, определение это такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого понятия, указываются его существенные признаки.

Однако, заметим, что в определении, как правило, указываются не все существенные признаки понятия, а лишь определенная их совокупность.

Так, школьное определение параллелограмма может быть следующим:

«Четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон, называется параллелограммом». В этом определении не сказано о равенстве противоположных сторон, о делении диагоналей пополам в точке пересечения и т.д.

Более того, определить параллелограмм можно иначе: «Четырехугольник, имеющий пару равных и параллельных сторон, называется параллелограммом».

Таким образом, мы приходим к выводу, что для определения понятия существует, как правило, не только одна единственная группа существенных признаков. Выбор существенных признаков для образования определения из всей совокупности признаков не является однозначным.

Если это так, то как же проверить, что разные определения одного и того же понятия определяют в самом деле одно понятие?

Это проверяется по объему понятия. Одному и тому же понятию можно дать разные определения – указав разные совокупности существенных признаков, но объем понятия должен быть один и тот же.

Итак, определить какое-либо понятие можно, указав его существенные признаки.

Рассмотрим виды определений.

Способы определения понятий

  1. Основным приемом или видом определения является определение через ближайший род и видовое отличие. Такое определение известно со времен Аристотеля. Это так называемое формально-логическое определение.

Если объем одного понятия входит как правильная часть в объем другого понятия, то первое понятие называют видовым, а второе – родовым.

Так, понятие «прямоугольник» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм», а параллелограмм – родовое понятие по отношению к понятию «прямоугольник».

В начальной школе определения геометрических понятий детям не сообщаются. Вместе с тем, по отношению к таким понятиям, как прямоугольник и квадрат, указываются существенные признаки, которые фактически отражают содержание понятий и дают возможность выделить соответствующие фигуры из класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию. Например, квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

  1. Уже в начальной школе можно встретить и другой прием определения.

Так, в упражнении может быть предложено следующее задание: «Отметь точку. Поставь в эту точку иглу циркуля и поворачивая циркуль начерти линию. Эта линия - окружность» Это генетическое определение. От латинского «генезис» - происхождение.

Вспомните, что в старших классах подобным образом определяют прямой круговой цилиндр и конус.

Такому приему определения близок еще один вид – конструктивное определение.

В этом определении указываются не свойства, а дается непосредственное описание строения объекта, его конструкции. Так, параллельные прямые можно определить как два перпендикуляра к одной прямой.

  1. Возможно определение через абстракцию. Так, например, определяется понятие натурального числа в количественной или теоретико-множественной трактовке.

  2. Вы встречались как в школе, так и в вузовском курсе математики с определением – условным соглашением. Договорились, что любое число, отличное от нуля в нулевой степени есть единица.

В математической логике импликацию предикатов возможно определить через дизъюнкцию отрицания первого предиката и второго.

5) Косвенное определение это определение через систему аксиом. Таким образом, определяются основные понятия геометрии: точка, прямая, плоскость.

Существует достаточно много различных видов определений. Можно все типы определений разделить на две группы: дескриптивные и конструктивные определения.

Если новое понятие вводится посредством описания его свойств – это дескриптивное определение; ели посредством описания конструкции самого объекта – то это конструктивное определение.

Основные задачи, с которыми сталкивается человек в своей деятельности, связаны с преобразованием дескриптивных определений в конструктивные, другими словами с построением объектов, обладающих теми или иными свойствами.

Конструктивное определение ценно тем, что оно дает доказательство существования определяемого объекта.

А вот из описательного определения еще не следует, что соответствующий объект существует. После описательного определения следует, как правило, доказать теорему существования.

Мы остановимся подробнее на требованиях к формально логическим определениям, ибо именно такие определения наиболее часто встречаются в школьном курсе геометрии.