Учителю, работающему в начальных классах, часто приходится изображать различные фигуры. Для грамотного изображения фигур, выполнения несложных чертежей необходимо следовать определенным правилам. В математике изображение фигур основано на знании и использовании параллельного проектирования. Выясним, что понимают под словами «параллельное проектирование», «изображение фигуры».

Параллельное проектирование

Пусть дана плоскость и пересекающая ее прямая a. Возьмем в пространстве произвольную точку X. Если точка X не лежит на , проведем через X прямую a´ || a. Прямая a´ пересекает плоскость в некоторой точке X´. Эта точка X´ является проекцией точки X на плоскость при проектировании параллельно прямой a.

Если точка X лежит на прямой a, то ее проекцией будет точка пересечения a с .

Если X, то X´ совпадает с X.

Прямая a задает направление проектирования.

Различают косоугольное параллельное проектирование и ортогональное параллельное проектирование. Если направление проектирования задает произвольная прямая, пересекающая плоскость , то имеем дело обычно с косоугольным проектированием. В случае, если прямая a, задающая направление проектирование, перпендикулярно плоскости , говорят об ортогональном проектировании.

Отображение, сопоставляющее каждой точке X фигуры F ее параллельную проекцию X´F´, называется параллельным проектированием фигуры F. Фигура F´ является проекцией фигуры F.

При параллельном проектировании выполняются следующие свойства:

1. проекция прямой есть прямая, проекция отрезка – отрезок;

2. проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3. отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Эти свойства известны из школьного курса стереометрии, их легко проверить с помощью модели куба в лучах проектора или в солнечных лучах при условии, что лучи от источника света близки к параллельным.

Требования к изображению фигур

Под изображением фигуры понимают ее параллельную проекцию на плоскость изображения или фигуру, подобную параллельной проекции.

Рассмотрим, какие требования предъявляются к изображению, используемому в школе на уроках математики, географии, биологии и т.д.

1. Изображение фигуры должно быть, прежде всего, верным. Это означает, что изображение должно представлять собой одну из проекций изображаемой фигуры или фигуру, подобную проекции. Средством достижения данного требования является использование параллельного проектирования.

2. Кроме того, изображение должно быть наглядным. Это требование означает, что изображение должно вызывать пространственное представление оригинала (изображаемой фигуры) наиболее точно и полно. Для достижения этого требования служат использование штриховых линий, цвета, особое расположение оригинала по отношению к плоскости изображения. Так, например, квадрат может быть верным изображением куба (проектирующая прямая совпадает с ребром куба, а плоскость, параллельная перпендикулярной ему грани куба- плоскость изображения), но вряд ли такое изображение можно признать наглядным.

3. Изображение не должно содержать каких-либо построений, не имеющих отношения к рассматриваемой задаче. На изображении, чертеже должно быть только самое необходимое, т.е. изображение должно быть простым. Понятно, что это отлично от того, что требуется на уроках черчения.

Построение изображения фигуры в педагогическом процессе отличается от тех требований, которые предъявляют к изображению, точнее к чертежу, в технических дисциплинах. Ясно, что при изготовлении какой либо детали требуется чтобы рабочий абсолютно точно воссоздал оригинал по его чертежу – изображению. Тогда схема построения изображения примерно выглядит так: Дан оригинал – деталь; выбирается определенный проектирующий аппарат, например известная из уроков черчения кабинетная проекция; этими данными изображение вполне определено. Это и означает, что рабочий может воссоздать оригинал.

В педагогическом процессе, напротив, дан не оригинал, а условия, которым он должен удовлетворять; проектирующий аппарат и положение оригинала относительно плоскости проекции остаются неопределенными; в результате и изображение является неопределенным. Но изображение отнюдь не произвольно!

Главный педагогический принцип: неопределенность не должна нарушить верности!

Какие теоретические положения лежат в основе построения изображений? Перечислим их. Прежде всего, как уже было сказано, это свойства параллельной проекции:

1. проекция прямой есть прямая, проекция отрезка – отрезок;

2. проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3. отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Кроме того, важны следующие теоремы:

Теорема 1. Любой данный треугольник может быть изображен произвольным треугольником.

Это означает, что какой бы наперед заданный треугольник, равнобедренный, прямоугольный или какой-либо другой мы не взяли, его изображением может служить абсолютно произвольный треугольник. В истинности этой теоремы можно убедиться на опыте. Взяв треугольник определенной формы, вращая его в лучах проектора, увидим, что его тенью на экране, изображением в параллельной проекции может быть любой треугольник. (Помним, что лучи проекционного аппарата должны быть по возможности параллельными.)

Теорема 2. Если дано изображение треугольника, то однозначно определено изображение каждой точки, принадлежащей плоскости этого треугольника.

Данная теорема говорит о том, что как только получено изображение треугольника, произвол закончился. Рассмотрим это на примере. Пусть дан прямоугольный треугольник A´B´C´, в этом треугольнике из вершины прямого угла A´ проведен луч A´K´, делящий гипотенузу в отношении 1:2. На продолжении луча отложена точка M´ так, что отрезок K´M´ равный отрезку A´K´.

Изображением треугольника A´B´C´ служит произвольный треугольник ABC. Точка K делит сторону BC в том же отношении 1:2, считая от точки B. Этот факт вытекает из третьего свойства параллельной проекции. Следовательно, луч AK проводим на изображении не произвольно. Затем на его продолжении откладываем точку M вновь не произвольно, а так, чтобы отрезок KM был равен отрезку AK.

Теорема 3 (Польке-Шварца) Всякий невырожденный четырехугольник вместе с его диагоналями можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра любой наперед заданной формы.

Невырожденный четырехугольник представляет собой любой плоский четырехугольник, т.е. замкнутую ломаную линию, составленную из четырех звеньев так, чтобы никакие два звена не лежали на одной прямой.

Тетраэдром в обще принятом смысле считают любую треугольную пирамиду. В противоположность этому иногда тетраэдром называют только правильную треугольную пирамиду. В данной теореме используется первое истолкование. Действительно, четырехугольник АВСД может быть рассмотрен как изображение пирамиды, основанием которой является треугольник АВД, а вершиной точка С. Конечно, требование наглядности здесь несколько нарушено. Отрезок ВД должен быть изображен пунктирной линией как невидимый. Хотя, если модель тетраэдра проволочная – то все линии будут видимыми.

На основании рассмотренных теорем можно начертить верное изображение любой пространственной фигуры, то есть решить прямую задачу: дан объект (оригинал) – изобрази его на плоскости!

Однако по полученному верному изображению не всегда можно судить о взаимном расположении элементов оригинала. Для решения обратной задачи - дано изображение, требуется выяснить, каким условиям отвечает оригинал, как расположены его элементы друг относительно друга – нужны дополнительные усилия.