Построение геометрических фигур на плоскости

I. Исторический экскурс.

Простейшие задачи на построение возникли в глубокой древности при выполнении измерений участков земли и при выполнении работ по строительству различных сооружений. К первым из таких задач относятся построение отрезка, равного данному, деление отрезков и углов на две равные части, построение перпендикуляра к данной прямой через данную точку. Решение этих задач было известно ещё в догреческий период, но родиной этих задач можно считать Древнюю Грецию, где впервые была создана геометрическая теория в систематическом изложении.

К древнейшим геометрическим инструментам относятся циркуль и линейка. Употребление линейки берёт своё начало с незапамятных времён. Циркуль был изобретен значительно позже. Фигуры папируса Ахмеса, например, свидетельствуют о применении линейки, но не циркуля. Согласно римскому поэту Овидию(1 в.) циркуль был изобретен в Древней Греции. Древнегреческие ученые считали построение геометрическим, если оно выполнялось только при помощи циркуля и линейки. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. В связи с этим возникла проблема о разрешимости задач на построение только циркулем и линейкой, которая была окончательно решена лишь во второй половине XIХ века.

Большой вклад в разработку методов решения задач на построение внесли Пифагор, Платон, Прокл, Аполлоний. Значительное место рассмотрению задач на построение отведено в знаменитых "Началах" Евклида. Доказывая, что та или иная фигура может существовать, он указывал, как её можно построить, применяя только линейку и циркуль. В его 13 книгах рассмотрено большое число задач на построение, многие из которых рассматривают в школе и в настоящее время.

С древних времен построения способствовали усвоению не только математики, но и других учебных дисциплин. Поэтому задачи на построение уже не одну сотню лет являются традиционным материалом школьного обучения.

II. Основные понятия теории геометрических построений.

Теория геометрических построений, или конструктивная геометрия, является самостоятельной ветвью геометрии, в которой основным объектом изучения является задача на построение.

В конструктивной геометрии кроме основных геометрических и общематематических неопределяемых понятий вводятся в качестве также основных неопределяемых понятий понятия «построить фигуру» и «инструменты геометрических построений». Эти последние и отличают конструктивную геометрию от других ветвей геометрии.

Смысл понятия «построить фигуру» выражается в практике словами «начертить», «вычертить», «провести» (линию), «отметить» (точку). В конструктивной геометрии смысл этого понятия раскрывается в «общих аксиомах конструктивной геометрии», чёткую формулировку которых, можно найти в трудах Б. И. Аргунова и М. Б. Балка:

1. Каждый раз, когда говорится, что некоторая фигура “дана”, эта фигура считается построенной.

2. Если две (или более) фигуры, то считается построенным и соединение этих фигур.

3. Если построены две фигуры, то считается известным, является ли их разность пустым множеством или нет.

4. Если разность двух фигур не является пустым множеством, то эта разность также считается построенной фигурой.

5. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством, или нет.

6. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно считается построенным.

7. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

8. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

9. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре.

К инструментам геометрических построений относятся линейка, угольник, циркуль, двусторонняя линейка, транспортир, прямой угол. Для геометрических построений могут быть использованы также и инструменты, широко применяющиеся в чертежной и производственной практике. К ним относятся: рейсшина, малка, центроискатель, чертежная машина, пантограф, эллипсограф, коордиограф и др. Наиболее распространенными из всех указанных инструментов являются циркуль и линейка.

Привлечение к геометрическим построениям других инструментов из указанных выше с теоретическим обоснованием возможности их применения вызвано необходимостью приведения теории геометрических построений “в большее соответствие с чертежной практикой».

Каждый из инструментов геометрических построений характеризуется соответствующей аксиомой или описанием характерных операций, осуществляемых при однократном использовании того или иного инструмента.