VII. Примеры решения задач на построение.

Задача 1. Построить треугольник по двум высотам h_b и h_c и медиане m_a.

Анализ. Пусть ABC искомый треугольник, AD — его медиана m_a, BL = h_b, СН = h_c. Построение треугольника ABC станет совсем простым, если удастся определить его угол BAC. Но <ВАС=<CAD+<ВАР. Проведём DFAC. Тогда станет ясно, что угол CAD легко определяется путём построения прямоугольного треугольника AFD, в котором известна гипотенуза АD = m_a и катет DF = ½h_b. Аналогично определяется и угол ВАР.

Построение. 1) Строим прямоугольный треугольник ADF по гипотенузе АР = m_a и катету DF = ½h_b. 2) Строим прямоугольный треугольник ADE так, чтобы точки Е и F располагались по разные стороны прямой AD и DЕ = ½ h_c. 3) На луче FD откладываем отрезок РК=h_b. 4) Через. Точку К проводим прямую, параллельную AF, и отмечаем точку В её встречи с лучом АЕ. 5) Строим прямую BD. 6) Отмечаем точку С встречи прямых BD и AF. Треугольник АВС искомый.

Доказательство. Из равенства треугольников DВК и CDF следует, что BD=DC, т. е. АР–медиана. AD=m_a по построению. Опустим из В перпендикуляр BL на AF. Отсюда BL=KF=h_b. Пусть СНАВ.

В треугольнике СНВ отрезок DE служит средней линией. Поэтому CH=2DE=h_c, так как DЕ=h_c по 1 построению.

Исследование. Первый шаг вышеприведенного построения возможен и однозначно выполним, если m_a>½hb второй – если m_a>½h_c. Шаги 3, 4, 5 и 6 всегда возможны. Таким образом, приведённый способ построения даёт единственное решение, если одновременно h_b<2m_a и h_c<2m_a. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то решений нет. Невозможность получения иных решений другим способом следует из того, что при условии m΄_a΄=m_a’, h΄_b΄=h_b’, h΄_c΄=h_c два треугольника A΄B΄C΄ и ABC оказываются равными.

Задача 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и одной из диагоналей.

Решение. Уточним, как нужно понимать эту задачу. Даны три отрезка M₁N₁, М₂N₂, M₃N₃. Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем AB и ВС, равны соответственно отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а одна из диагоналей, например BD, равна отрезку М₃N₃. Проведем решение задачи по описанной схеме.

Анализ. Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен. Мы видим, что стороны треугольника BAD равны данным отрезкам M₁N₁, М₂N₂ и M₃N₃. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трем сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение. Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны AB, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M₁N₁, М₂N₂ и М₃N₃. Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку B параллельно АD. Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С. Четырехугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

Доказательство. По построению AB II CD и BC II AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Также по построению смежные стороны параллелограмма равны отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃, т. е. параллелограмм ABCD – искомый.

Исследование. Ясно, что если по трём данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм построить ABCD нельзя.