III. Инструменты геометрических построений.

Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента: Такое описание даётся в форме аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертежных инструментов, которые используются для геометрических построений.

1. Аксиома линейки.

Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

б) построить прямую, проходящую через две построенные точки;

в) построить луч, исходящий из построенной точки проходящий, через другую построенную точку».

2. Аксиома циркуля.

Циркуль позволяет выполнить следующее геометрические построения:

а) построить окружность, если построены центр окружности и концы отрезка, равного радиусу окружности;

б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построен центр окружности и концы дуги.

3. Аксиома двусторонней линейки.

Двусторонняя линейка позволяет:

а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме 1;

б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки);

в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка (ширина линейки), и если АВ> h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

4. Аксиома прямого угла. Прямой угол позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) все построения, выполнимые односторонней линейкой;

б) через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;

в) если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Помимо перечисленных инструментов, для геометрических построений можно пользоваться и другими инструментами: произвольным углом, угольником, линейкой с отметками, парой прямых углов, различными приспособлениями для вычерчивания специальных кривых и др.

Заметим, что геометрические построения производятся каждый раз с определенными, наперед указанными инструментами, причём каждый инструмент характеризуется определённой системой конструктивных аксиом.

IV. Основные построения.

Основными построениями назовем наиболее часто встречающиеся сочетания элементарных построений. К основным построениям могут быть отнесены следующие построения:

1) отрезка, равному данному;

2) суммы, разности двух данных отрезков; суммы нескольких данных отрезков;

3) угла, равного данному;

4) построение середины данного отрезка;

5) деление данного угла пополам;

6) построение треугольника по трем сторонам;

7) построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, в частности — прямоугольного треугольника по катету и острому углу и гипотенузе и острому углу;

8) построение треугольника по двум сторонам и углу между ними, в частности — прямоугольного треугольника по двум катетам;

9) построение прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе;

10) построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой;

11) построение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данной прямой;

12) построение образов данных точки, отрезка, луча, прямой, окружности в симметрии плоскости с данной осью симметрии;

13) построение образов данных точки, отрезка, луча, прямой, окружности в данном параллельном переносе плоскости;

14) построение образов данных точки, отрезка, луча, прямой, окружности в данном повороте плоскости;

15) построение касательной, проходящей через данную точку к данной окружности;

16) построение общей касательной к двум данным окружностям;

17) внутреннее и внешнее деление отрезка в данном отношении;

18) построение отрезка, четвертого пропорционального к трем данным отрезкам;

19) построение отрезка, среднего пропорционального для двух данных отрезков;

20) построение отрезка, квадрат длины которого равен сумме (либо разности) квадратов длин двух данных отрезков;

21) построение многоугольника, подобного данному;

22) построение образов данных точки, отрезка, луча, прямой, окружности в данной гомотетии плоскости;

23) построение треугольника, равновеликого данному многоугольнику.

Рассмотрим некоторые простейшие задачи на построение.

Задача 1. От начало луча МN отложите отрезок, равный данному отрезку АВ.

1. Построим окружность с центром в точке М и радиусом АВ. Она пересечет луч в точке P. Отрезок MP равен отрезку АВ.

Задача 2. От заданного луча АВ в заданную полуплоскость отложите угол, равный данному углу MVP.

1. Построим две окружности одного и того же радиуса одну, с центром в точке А, а другую с центром в точке N. Первая окружность пересечет луч АВ в точке B₁, а вторая пересечет стороны угла MNP в точках M₁ и P₁.

2. Построим отрезок М₁Р₁.

3. Построим окружность с центром в точке В₁ с радиусом М₁Р₁. Эта окружность пересечет в двух точках построенную окружность с центром в точке А. Ту точку, которая лежит в заданной полуплоскости, обозначим буквой С.

4. Построим луч АС. Угол ВАС — искомый.

Задача 3. Построить середину данного отрезка А В.

1. Построим окружность с центром в точке А и радиусом r=АВ.

2. Построим окружность с центром в точке В и радиусом r=АВ.

Две окружности пересекаются в точках М и N.

3. Проведем прямую MN. Она пересечет отрезок АВ в искомой точке О.

Задача 4. Разделите пополам данный на плоскости угол АОВ.

1. Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке О.

Она пересечет стороны данного угла в точках М и N.

2. Построим две окружности с центрами в точках М и N и радиусом, равным ОМ.

Задача 5. Через данную точку А вне данной прямой а проведите прямую, перпендикулярную данной.

1. Построим окружность с центром в точке А и радиусом r, большим расстояния от точки А до прямой а. Окружность пересечет прямую а в двух точках В и С.

2. Построим две окружности: одну с центром в точке В и радиусом, равным АВ, а другую — с центром в точке С и радиусом, равным АС. Эти окружности пересекаются в двух точках: в точке А и в точке А₁, симметричной точке А относительно прямой а.

3. Построим прямую АА,. Это и есть искомый перпендикуляр к прямой а.

Окружности пересекутся в точках О и O₁.

4. Построим луч ОО₁ Этот луч является биссектрисой угла, то есть луч делит угол на две равные части.

Задача 6. Через данную точку А вне данной прямой а проведите прямую, параллельную данной.

1. На данной а прямой построим точку В. Построим отрезок АВ.

2. На данной прямой а отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ.

3. Построим две равные окружности с радиусом, равным АВ, одну с центром в точке А, а другую с центром в точке С. Окружности пересекутся в точке D.

4. Строим прямую AD, которая является параллельной данной.

Задача 7. Разделите данный отрезок АВ в отношении m/n (m и n - натуральные числа).

1. Построим вспомогательный луч АС, на котором отложим m+n равных между собой отрезков. Пусть Р конечная точка последовательности этих отрезков, а точка К отделяет m первых отрезков.

2. Построим прямую РВ, и через точку К проведем прямую, параллельную прямой РВ. Последняя прямая пересечет отрезок АВ в искомой точке Н, которая делит отрезок АВ в указанном отношении.