Требования к определению понятия.

Пусть A – объем родового понятия. P(x) – видовой признак понятия. Тогда определение через род и видовое отличие делит множество A на два подмножества:

A¹ = { x | x A P(x) }

A² = { x | x A P(x) }

Для рассмотрения объемов в системе понятий используют круги Эйлера-Венна:

а) Первое требование к определению понятия состоит в необходимости доказательства существования объекта. Ибо возможно, что данной области описываемого свойством P объекта не существует. Так, можно сформулировать определение двутупоугольного треугольника: «Треугольник, содержащий два тупых угла, называется двутупоугольным». Однако, такому определению соответствует пустое множество объектов.

Как уже было сказано, следует доказать теорему существования. Однако, в школьной практике, тем более в рамках начальной школы, ограничиваются приведением примера, показом модели определяемого объекта.

б) Следующее требование к определению состоит в соразмерности: объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего.

Любое формально логическое определение связывает два понятия: то, что определяется – определяемое понятие и то, посредством которого дается определение – родовое понятие с видовыми отличиями - определяющее.

Так вернемся к рассмотренному выше определению окружности. Если мы забудем отметить, что все точки принадлежат одной плоскости и скажем, что: «Окружностью называется множество точек, каждая из которых находится на данном расстоянии от заданной точки», то определяемое понятие «окружность» не совпадет по объему с определяющим «множество точек…».

в) Третье требование заключается в минимальности, включении в определение минимального набора признаков.

Это требование означает, что ни один из названных в определении существенных признаков нельзя изъять. Часто даются так называемые «избыточные» определения или «переопределения». Например, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. В это определение включены логически зависимые признаки. Если у четырехугольника стороны попарно равны, то можно доказать, что стороны его и попарно параллельны.

Другой пример. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. Достаточно потребовать в определении прямоугольника как особого параллелограмма наличие лишь одного прямого угла. Тот факт, что все остальные углы окажутся прямыми можно доказать.

Минимальность состоит и в том, что при определении следует использовать ближайшее родовое понятие. Так, выбирая определение квадрата из двух следующих определений, мы отдаем предпочтение первому, ибо ромб есть более близкий род по отношению к виду «квадрат», нежели параллелограмм:

«Квадрат есть ромб с прямым углом»

«Квадрат есть параллелограмм с равными сторонами и прямым углом».

Наиболее краткое определение содержит наиболее простое по структуре характеристическое свойство, видовое отличие. Это требование и достигается тем, что определяемое множество выражается как подмножество минимального множества, т.е. такого, никакое другое подмножество которого, содержащее определяемое, ранее не определено. В логике минимальное множество называется ближайшим.

г) Следующее требование заключается в отсутствии так называемого «порочного» или «логического» круга в определении. С логическим кругом в определении мы встречаемся, если одно понятие определяется через другое, а второе через первое. Приведем пример подобной ошибки:

«Прямой угол – угол со взаимно перпендикулярными сторонами» и

«Прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются взаимно перпендикулярными».

Понятно, что требования к определению связаны с типичными ошибками учащихся. Как же бороться с ошибками?

Ошибочные определения следует подвергать логическому анализу, вскрывать сущность ошибки, приводить примеры объектов, которые возможно подвести под ошибочное определение.