Решение задач на пропорциональные величины

§1. Задачи на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило)

Один из наиболее распространенных типов задач, с которым дети встречаются раньше и чаще других, - это задачи на нахождение четвертого пропорционального, или на тройное правило. В задачах такого вида входят три зависимых (пропорциональных) величины, например: 1). Цена, стоимость и количество; 2). Скорость, пройденное расстояние и время движения; 3). Работа, время работы и количество изготовленных деталей.

При этом для одной величины даны два значения (например, количество: куплено в первый раз 6 тетрадей, а во второй раз 14 тетрадей); для другой величины задано одно значение, а другое надо найти (пример: стоимость первой покупки 12 коп; сколько уплатили во второй раз?); значений третьей величины не дается, но указывается, что они одинаковы (в нашем примере цена тетрадей не указана, но она одинакова). Таким образом, в задачу вводятся 3 величины и 3 значения двух из этих величин.

Тройное правило пришло в Европу из Индии через посредство ал-Хорезми и Леонардо Фибоначчи, а из Европы к нам. Его долгое время считали самым полезным в коммерции и житейской практике. “Ключ купцов” - называли его. При изучении арифметики ему уделяли чрезвычайно большое внимание, однако рассматривали его до IX в. догматически, заучивали без объяснения: “Перемножь два последних; что получится дели на первое”.

И в настоящее время знакомство с задачами на нахождение четвертого пропорционального играет в изучении математики не последнюю роль. Эти задачи дают детям первые представления о функциональной зависимости между величинами.

В общем виде задача на нахождение четвертого пропорционального выглядит так: “ единицам соответствует. какое число соответствуетединицам, если соответствие и в первом и во втором случае не изменилось?”

Конкретное содержание задач этого вида можно бесконечно разнообразить. Для выяснения теории вопроса рассмотрим обычную задачу на зависимость между ценой, количеством и стоимостью товара: “За 8 листов бумаги уплачено 24 коп. Сколько таких листов бумаги можно купить за 36 коп.?” В этой задаче изменяется стоимость товара и число листов, а цена остается постоянной.

Запишем эту задачу кратко в виде таблицы, а рядом дадим формулу ее решения.

Цена (коп.)	Количество (листов)	Стоимость (коп.)
Одинаковая	8 ?	24 36

Решение:

х=36:(24:8);

х=12.

К этой задаче можно составить 3 обратные ей.

Цена (коп.)	Количество (листов)	Стоимость (коп.)
	Задача 1
Одинаковая	? 12	24 36
	Задача 2
Одинаковая	8 12	24 ?
	Задача 3
Одинаковая	8 12	? 36

Решение:

Задача 1	Задача 2	Задача 3
х=24:(36:12);	х=(24:8)*12;	х=(36:12)*8;
х=8.	х=36.	х=24.

Две первые формулы аналогичны: в них содержатся два частных, а в двух последних надо найти частное, выражающее цену, и умножить его на количество листов.

Если в первой задаче взять за постоянное количество листов, а менять цену одного листа, то можно составить следующие задачи, которые кратко запишем в виде таблицы.

Цена (коп.)	Стоимость (коп.)	Количество (листов)
	Задача 1
3 2	24 ?	Одинаковое
	Задача 2
3 2	? 16	Одинаковое
	Задача 3
3 ?	24 16	Одинаковое
	Задача 4
? 2	24 16	Одинаковое

Решение:

1. х=(24:3)*2; х=16.

2. х=(16:2)*3; х=24.

3. х=16:(24:3); х=2.

4. х=24:(16:2); х=3.

Выражения, составляющие решения этой группы задач, по своей структуре можно распределить на два вида: в первом находим произведение частного, выражающего количество листов на цену, а во втором – два частных. Эти две группы задач – задачи на прямо пропорциональную зависимость.

Взяв за постоянное стоимость, составим еще задачи.

Цена (коп.)	Количество (листов)	Стоимость (коп.)
	Задача 1
3 2	8 ?	Одинаковая
	Задача 2
3 2	? 12	Одинаковая
	Задача 3
3 ?	8 12	Одинаковая
	Задача 4
? 2	8 12	Одинаковая

Решение:

1. х=(3*8):2; х=12

2. х=(2*12):3; х=8.

3. х=(3*8):12; х=2.

4. х=(2*12):8; х=3.

В этой группе задач зависимость величин обратно пропорциональная. Формулы решения этой группы по структуре идентичны.

Подобным же образом можно составить три группы задач: на зависимость заработной платы, рабочего времени и оплаты работы за единицу времени; на зависимость производительности, рабочего времени и числа деталей, изготовленных за определенный промежуток времени, а также и для других трех величин, связанных между собой определенной зависимостью.

Таким образом, на зависимость трех величин можно составить по данному сюжету 12 задач на нахождение четвертого пропорционального.

При решении задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) используют следующие приемы:

1). Способ прямого приведения к единице; 2). Способ обратного приведения к единице; 3). Способ отношений.