Элементы теории статистических игр

Существуют задачи принятия решения, в которых одной из оперирующих сторон является «природа». Особенностью этого «игрока» является безразличие к исходу результата операции. Сложность проблемы заключается в том, что ЛПР не может представить себе образ действия и поведение «природы». Теория статистических игр реализует такие задачи разделяя их на две группы:

1. Статистические игры, в которых невозможно проведение эксперимента.

2. Статистические игры с возможностью проведения эксперимента.

1. Идеальный эксперимент (эксперимент полностью определяет поведение природы).

2. Неидеальный эксперимент (уточняет априорную информацию).

Статистические игры без эксперимента

Ситуация с формальной точки зрения совпадает с матричной игрой, так как может быть задана в виде таблицы выигрышей ЛПР, строки которой соответствуют стратегиям ЛПР, а столбцы состояниям природы. Концептуальное отличие: природе мы не можем приписать целенаправленных осознанных действий.

Пример

П₁, П₂, П₃, П₄ – состояния «природы», х₁, х₂, х₃ - стратегии ЛПР

x П	П1	П2	П3	П4
x1	2	3	4	5
x2	5	4	1	2
x3	7	2	8	1

Это – платежная матрица

Существует другой способ задания ситуации – задание матрицы риска. Для этого в каждом столбце матрицы выигрышей находится максимальное число , а затем рассчитывается риск по формуле

Получим матрицу риска

.

x П	П1	П2	П3	П4
x1	5	1	4	0
x2	2	0	7	3
x3	0	2	0	4
	7	4	8	5

По отношению к тому, какой информацией мы располагаем о поведении природы возможно 3 ситуации:

1. Известны вероятности, с которыми наступает состояние природы,

2. Вероятности не известны, но можно судить с той или иной достоверностью чему они могут быть равны,

3. Ничего не знаем о вероятностях состояния природы.

1. Вероятности мы знаем, но нет возможности их уточнить. Можно поступить так: либо максимизировать средний выигрыш, либо минимизировать средний риск (n – число состояний природы). Рассчитаем средний выигрыш при условии, что ЛПР выбрал i^ю стратегию. Тогда средний выигрыш, полученный ЛПР за много партий составит:

_,

где- вероятность наступления состоянияП_j

Очевидно ЛПР должен выбрать такую свою стратегию i₀, чтобы величина была максимальна, т.е.

Важно понимать, что результат получим в среднем за много партий.

Вместо максимизирования среднего выигрыша можно минимизировать средний риск, но результат будет тот же:

2. Вероятности неизвестны, но можно предположить, как они упорядочены. Для решения задачи значения q_j , берем равные членная некоторой убывающей геометрической прогрессии. После этого мы ведем расчеты так, как будто мы точно знаем q_j .

Один из подходов (принцип недостаточности основания Лапласа) – принять все вероятности равными, т.е. .

3. Критерии, характеризующие характер ЛПР:

• Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма):

• Критерий минимакса риска Сэвиджа:

Оба эти критерия предполагают злонамеренность природы

• Критерий пессимизма - оптимизма Гурвица:

где α – степень пессимизма ЛПР(α=[0,1]).

Решим наш пример при следующих вероятностях

q₁=1.2, q₂=0.3, q₃=0.4, q₄=0.1;

Средние выигрыши:

a₁=0.2∙2+0.2 ∙5+0.2∙7=2.8,

a₂=0.3∙3+0.3∙4+0.3∙2=2.7,

a₃=0.4∙4+0.4∙1+0.4∙8=5.2,

a₄=0.1∙5+0.1∙2+0.1∙1=0.8;

Выбираем i₀=3

Проверим по рискам:

r₁=0.2∙5+0.3∙1+0.4∙4=2.9,

r₂=0.2∙2+0.4∙7+0.1∙3=3.5,

r₃=0.3∙2+0.1∙4=1;

Результат тот же i₀’=3;

Посчитаем по Гурвицу с α=0.5;

Выбираем третью стратегию.