Применение нечеткой математики в задачах оптимизации
Нечеткая математика возникла в 60-х годах 20-го века (Лофти Заде).
Понятие нечеткого множества
Одним из способов задания классического (далее – четкого) множества является задание его характеристической функции.
Характеристическая функция некоторого множества A:- это функция вида
Идея Заде состояла в том, чтобы заменить 2-х элементное множество значений этой функции {0;1} на сегмент [0;1], т.е. вводятся промежуточная степени принадлежности элементов к данному множеству.
Введем понятие функции принадлежности, которая задана на базовом четком множестве X и принимает значение в сегменте [0;1] A: X[0;1].
В качестве базового множества X , которое назовем универсумом, можно рассмотреть множество элементов любой природы, из которого мы набираем элементы нужных нам множеств. Элементы универсального множества будем обозначать через x.
Нечетким множеством (НМ) A будем называть пару, состоящую из множества X и некоторой функции принадлежности A., то есть
A=(X, A).
Функция принадлежности есть мера степени принадлежности элементов к данному множеству. При этом нечеткое множество становится четким, если его функция принадлежности принимает два значения 0 и 1.
Действия над нм
Основные операции над нечеткими множествами, задаваемые на основе максиминного подхода.
Определим множество, дополнительное к множеству A.
Эти определения показывают, что четкие множества являются частными случаями НМ.
Новые определения, аналогов которых нет в теории четких множеств
Носителем (суппортом) нечеткого множества A называется четкое множество, которое входят те и только те элементы x, для которых функция принадлежности строго положительна.
.
- уровнем множества A называется четкое множество A со следующей функцией принадлежности:
Пусть B - четкое множество, а [0;1]. Тогда множеством *B, называется нечеткое множество со следующей функцией принадлежности:
.
Используя последние определения, сформулируем важную теорему.
Теорема . О декомпозиции нечеткого множества.
Для любого нечеткого множества A имеет место следующая формула:
Понятие нечеткого бинарного отношения
Нечетким бинарным
отношением
назовем нечеткое подмножество декартового
квадрата базового множества.,
то есть
В нашем случае X – это множество вариантов выбора.
В теории нечетких бинарных отношений (НБО) принято само отношение и его функцию принадлежности
Итак, далее через ρ(x,y) обозначается функция принадлежности упорядоченной пары (x,y) отношению ρ . Очевидно, что всегда
.
Способы задание нечетких бинарных отношений
Способы задание
НБО поясним для случая двухэлементного
универсума
.
Тогда
-
Способ перечисления
.
Здесь в знаменателе
«дроби» указывается пара, а в числителе
– ее степень принадлежности НБО. Часто,
дробь пары, для которой
,
вовсе не указывается, т.е . пишут
-
Графовый способ
Наше НБО будет представлено взвешенным графом.
-
Матричный способ.
Наше НБО представляется матрицей
