Оптимизация в конфликтных ситуациях. Теория игр

Будем считать, что в задаче принятия решения имеется несколько лиц принимающих решения, то есть результат операции зависит от выбора не одного субъекта, а нескольких, причем этом, цели этих субъектов различны. Эти задачи рассматривается в теории игр. Конфликтную задачу принятия решения будем называть игрой, а ЛПР – игроками. Альтернативы, которые могут выбирать игроки, называются стратегиями.

Существуют коалиционные и бескоалиционные игры. Рассматриваем только бескоалиционные. В бескоалиционных играх каждый игрок (ЛПР) работает только на себя.

Основные объекты игры

1. Множество игроков: I={1,2,…,n}, где n – число игроков;

2. Множество стратегий i^го игрока: {S_i},

Стратегии: δ_i – конкретная стратегия i^го игрока;

3. Платежная функция i^го игрока: {H_i}.

- ситуация - это перечисление всех стратегий, которые выбрали все игроки

где R₁ – множество действительных чисел.

Понятие о равновесной ситуации

Бескоалиционная игра – это объект Г

Единичная мутация ситуации:

Пусть имеется некоторая ситуация . Единичной мутации ситуации назовем ситуацию , связанную с ситуацией:

Ситуация δ называется приемлемой для игрока i, если любая мутация не увеличивает его платежные функции:

Если для любого игрока i приемлемо, то такая ситуация называетсяравновесной.

Задача теории игр состоит в нахождении всех равновесных ситуаций данной игры. Этот процесс и его результат называется решением игры.

Понятие о стратегически эквивалентных играх

Пусть имеется две игры:

_,

у которых совпадает множество игроков и множество стратегий. Платежные функции связаны следующим соотношением:

,

где K – общее для всех игроков (например, вид валюты), а C_i – у каждого игрока своя константа.

Такие игры называются стратегически эквивалентными.

Эквивалентные игры имеют одно и тоже решение, т.е. одно и то же множество равновесных ситуаций.

Антагонистические игры

Игра называется игрой с нулевой суммой, если

.

Игра с нулевой суммой называется антагонистической, если число игроков – 2 (выигрыш одного обязательно будет проигрышем другого).

В антагонистической игре достаточно ввести одну платежную функцию:

Игрок А называется максимизирующим игроком, а В – минимизирующим.

Следовательно, .

Понятие седловой точки

Геометрической интерпретацией равновесной ситуации служит график платежной функции с седловой точкой

Здесь a – стратегия игрока A, b – стратегия игрока B.

Точка (a₀;b₀) – геометрическая интерпретация равновесной ситуации.

Условие равновесной ситуации:

Замечание: Не всякая игра имеет равновесную ситуацию, так как не всякий график имеет седловую точку.

Условие разрешимости игры

Теорема Для того чтобы игра имела решение (в чистых стратегиях), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны следующие экстремумы (минимаксы):

Теорема:

Доказательство:

_{Отсюда, взяв минимум от обеих частей неравенства, получаем требуемое неравенство.}