Свойства цены игры и оптимальных стратегий

1.

2.

Если некоторая стратегия одного из игроков входит в его оптимальную смешанную стратегию с вероятностью больше нуля, то она называется активной стратегией этого игрока. Если же чистая стратегия в оптимальной стратегии другого игрока входит с нулевой вероятностью, она называется пассивной.

3. Если один из игроков принимает смешанную оптимальную стратегию, то второму игроку достаточно применить любую чистую активную стратегию.

Методы решения игр Игра 22.

Каждый из игроков имеет по две стратегии.

Платежная матрица имеет вид:

В данном случае обозначаем через x и y искомые вероятности применения первым и вторым игроками своих первых стратегий, тогда вероятность применения игроками своих вторых стратегий будут равны соответственно (1-x) и (1-y). Тогда выигрыш 1-го игрока:

Обозначим коэффициент при произведении x y через Г.

Предположим, что Г=0, следовательно, платежная функция линейна. Но эта функция определена на единичном квадрате, следовательно, экстремальная точка находится в одном из углов этого квадрата, т.е. условие Г=0 дает игру в чистых стратегиях).

Решение игры 2x2 в смешанных стратегиях

Пусть .

Используя необходимые условия существования седловой точки, определяем параметры оптимальных стратегий игроков

_{Подставляя их в платежную функцию, получим}

- цена игры 2x2.

Игра 2m.

Такую игру можно решить графически.

Платежная матрица имеет вид:

Если известно, что второй игрок применит свою j-ю стратегию, а первый – смешанную, то платежная функция примет вид:

,

где x – вероятность применения 1-м игроком своей первой стратегии, а 1-x - вероятность применения им своей второй стратегии.

Графически зависимость.представляет собой прямую, построение которой ясно из левого рисунка. Построим прямые для всех стратегий второго игрока (см. правый рисунок) и обратим внимание на ломанную, ограничивающую эти прямые снизу.

В силу «жадности» второго при любом x он будет выбирать ту свою стратегию, которая соответствует прямую, образующую эту ломанную при данном значении x. Тогда в силу «алчности» первого игрока он выберет то значение параметра x_опт, которое соответствует верхней точке этой ломаной. В результате мы находим оптимальное значение x_опт и цену игры – ординату этой точки .

Для определения смешанной стратегии второго игрока и уточнения полученных результатов, мы оставляем те две стратегии второго игрока, которые соответствуют пересекающимся прямым (на рисунке это стратегии i и j, а в матрице Н соответствующие столбцы). Это - активные стратегии второго игрока, остальные стратегии пассивные.

В результате мы можем воспользоваться аналитическиiм методом решения игры 22, в которой используются только две активные стратегии второго игрока.