Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
42
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
278.53 Кб
Скачать

Классификация задач оптимизации (зо)

Одним из главных признаков классификации ЗО является детерминированность (определенность) задачи.

Определенная задача характеризуется тем, что все необходимые условия и параметры заданы с необходимой точностью. Чаще встречаются задачи неопределенные, причем неопределенность может иметь различный характер.

В частности, неопределенность может быть стохастической. Стохастическая неопределенность связана со случайными величинами, процессами, событиями. Здесь нужно применять аппарат теории вероятностей.

Другим признаком классификации может быть количество критериев, способ их задания (числовой, словесный и пр.).

Важный класс – класс игровых ЗПР, которые связаны с наличием конфликта между ЛПР, которых может быть несколько или между ЛПР и «природой».

Кроме этого ЗПР могут быть статическими и динамическими.

Задачи линейного программирования

Исторически это первый класс, включенный в дисциплину «Исследование операций» (старое название ТПР). Это частный случай задач математического программирования.

Первый пример. Задача об использовании сырья.

Предположим, что на некотором предприятии можно изготовлять продукцию 2-х видов: П1 и П2 для чего необходимо использовать сырье 4-х видов S1, S2, S3, S4. запасы сырья каждого вида ограничены.

Имеем следующую таблицу.

Вид сырья

Запас

Продукция П1

Продукция П2

S1

b1

a11

a12

S2

b2

a21

a22

S3

b3

a31

a32

S4

b4

a41

a42

Цена

с1

c2

Программа – это искомый план производства. Она характеризуется вектором

.

Здесь х1 – число изделий вида П1, х2 – число изделий П2, которые следует произвести по данному плану.

Если с1 и с2 цены единицы изделий вида П1 и П2 соответственно, то продав произведенную продукцию предприятие выручит сумму

.

Ясно, что предприятие стремиться максимизировать эту функцию.

Что ему мешает это сделать, т.е. каковы дисциплинирующие ограничения?

В таблице величина aij представляет собой количество сырья вида Si, которое расходуется на производство одного изделия вида Пj.

Величина bi представляет собой запас сырья вида Si, имеющийся на складах предприятия.

Отсюда следуют дисциплинирующие ограничения

Кроме того должны выполняться естественные ограничения

Получаем следующую задачу.

Необходимо найти такой план , удовлетворяющий ограничениям (2) и (3), чтобы функция (1) принимала наибольшее значение.

Функция (1) называется целевой функцией.

В числовом виде можно поставить такую задачу.

Вид сырья

Запас

П1

П2

S1

19

2

3

S2

13

2

1

S3

15

0

3

S4

18

3

0

Доход

7

5

Математический смысл: необходимо найти такое неотрицательное решение системы неравенств (2), чтобы функция (1) достигала максимального значения.

Подобные задачи, в которых необходимо найти экстремум некоторой (целевой) функции при некоторых ограничениях, называются задачами математического программирования.

Если и ограничения, и целевая функция выражается с помощью линейных функций, задача называется задачей линейного программирования.

Наша задача в данном примере проста, так как неизвестных всего два (). Поэтому решение можно провести наглядно геометрическим методом.

Для этого в плоскости следует построить решение каждого из шести неравенств. Эти решения геометрически представляют собой полуплоскости, пересечение которых и есть решение системы ограничений (2), (3).

Эта область обычно бесконечна имеет вид и о всегда ограничена ломанной линией. В силу линейности функции (1). Отрезки границы являются кусками прямых, уравнения которых получаются из неравенств (2), (3) заменой символов ина =.

В силу линейности целевой функции (1), она вырастает в направлении градиента, который имеет координаты

Построив какую – либо линию уровня целевой функции, например, прямую

,

следует передвигать ее в направлении градиента до крайней точки построенной области, если такая точка существует. Координаты этой точки и являются составляющими искомого оптимального плана.

Возможно, что такая точка не единственная, что свидетельствует о неоднозначности решения задачи.

Наконец, если такой точки нет, это означает , что задача не имеет решения.

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ОЗЛП)

В этой ЗЛП ограничения (2) имеют вид уравнений.

Считаем, что план имеет n компонент.

Общий вид системы ограничений

Здесь m – число уравнений – ограничений.

Целевая функция

Требуется среди всех неотрицательных решений системы (2) выбрать такое, при котором целевая функция (1) принимает минимальное значение.

Переход от максимизации к минимизации непринципиален.

Покажем, что всякая ЗЛП с ограничениями-неравенствами может быть сведена к виду ОЗЛП (правда, ценой увеличения размерности задачи)

Вернемся к системе ограничений (2) в виде неравенств. В общем случае i-е неравенство такой системы имеет вид:

Обозначим разницу между правой и левой частями этого неравенства через .

Заметим, что все новые переменные неотрицательны.

Теперь систему неравенств можно записать в виде такой системы уравнений:

(2/)

Переменные можно интерпретировать как количество сырья, оставшееся на складе после выполнения плана. При этом мы не будем менять вид целевой функции, так как вновь введенные переменные не увеличивают доход. Каждая из вновь введенных переменных неотрицательна, поэтому для них выполняются неравенства (3).

Итак, мы видим, что исходная ЗЛП с неравенствами эквивалентна некоторой ОЗЛП.

Впредь с самого начала будем считать, что задача имеет вид ОЗЛП.

Будем ее решать.

Определения.

Неотрицательное решение системы уравнений (2) называется допустимым планом.

Оптимальным планом (решением) назовем такое допустимое решение, для которого функция (1) достигает минимума.

Рангом матрицы назовем число r, которое обладает 2-мя свойствами:

  1. существует минор матрицы порядка r, не равный 0;

  2. всякий минор порядка r+1 равен 0.

Базисным минором назовем любой минор порядка r , не равный 0;

Рассмотрим базисный минор системы уравнений (2). Путем перестановки уравнений и перенумерации переменных добьемся того, чтобы он стоял в левом верхнем углу матрицы. Выбросим все уравнения, начиная с r+1 до m, т.е.оставим в системе ограничений (2) только первые r уравнений, так как остальные уравнения являются их следствиями в силу определения ранга матрицы.

Теперь систему ограничений можно переписать следующим образом:

(2а)

Здесь мы все переменные, начиная с и кончаямы перенесли в левую часть уравнений системы. Рассматриваем систему (2а), как систему уравнений относительно первыхr переменных

Поскольку определитель матрица этой системы есть базисный минор, то ее можно при любых разрешить относительно.

Получим систему

(2б)

Здесь

Система (2б) эквивалентна системам ограничений (2) и (2а), причем записана так, что показывает структуру решений системы ограничений (2). Действительно, задав к чисел , мы получим значения и первыхr компонент соответствующего решения. Это значит, что множество решений системы (2) бесконечно, причем оно образует линейное многообразие размерности к.

Назовем все переменные базисными, а остальные свободными переменными. Заметим, что каждому набору значений свободных переменных соответствует единственный набор значенийбазисных переменных по формуле (2б) и вместе эти наборы и образуют некоторое решение из указанного многообразия.

Мы же из всех решений, которые даются формулой (2б), возьмем одно единственное, в котором все свободные переменные равны 0.

Это решение называется базисным.

Формулы (2б) соответствуют только одному выбору базисного минора, тогда как таких миноров может быть много. Поэтому каждому базисному минору соответствует своя система вида (2б), свои наборы свободных и базисных переменных и свое базисное решение. Значит можно говорить о множестве базисных решений системы ограничений (2).

На этих понятиях строится метод решения ОЗЛП -симплекс-метод (СМ)

Соседние файлы в папке Лекции