ЭЛМ_Презентация_17
.pdf
Уравнение и решение в общем виде при < 0
E = 0, ̸= 0
• + 2 + 02 = 0
Решение этого уравнения при < 0 (не очень большое затухание) имеет вид
= e− cos( + )
√
∙= 02 − 2 частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
Напряжение на конденсаторе:
= e− cos( + )
где = /
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
14/19
Уравнение и решение в общем виде при < 0
E = 0, ̸= 0
• + 2 + 02 = 0
Решение этого уравнения при < 0 (не очень большое затухание) имеет вид
= e− cos( + )
√
∙= 02 − 2 частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
Напряжение на конденсаторе:
= e− cos( + )
где = /
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
14/19
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Сила тока в цепи:
( )
= = e− − cos( + ) − sin( + ) =
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
0 |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
sin( + ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
+ 2 ) |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
так как |
|
|
|
2 + 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно положить |
|
|
− |
|
|
= cos , |
|
|
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
15/19
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Сила тока в цепи:
( )
= = e− − cos( + ) − sin( + ) =
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
0 |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
sin( + ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
+ 2 ) |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
так как |
|
|
|
2 + 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно положить |
|
|
− |
|
|
= cos , |
|
|
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
15/19
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Сила тока в цепи:
( )
= = e− − cos( + ) − sin( + ) =
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
0 |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
sin( + ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
+ 2 ) |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
так как |
|
|
|
2 + 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно положить |
|
|
− |
|
|
= cos , |
|
|
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
15/19
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Сила тока в цепи:
( )
= = e− − cos( + ) − sin( + ) =
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
0 |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
sin( + ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
+ 2 ) |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
так как |
|
|
|
2 + 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно положить |
|
|
− |
|
|
= cos , |
|
|
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
15/19
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Сила тока в цепи:
( )
= = e− − cos( + ) − sin( + ) =
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
0 |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
sin( + ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
+ 2 ) |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
так как |
|
|
|
2 + 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно положить |
|
|
− |
|
|
= cos , |
|
|
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
15/19
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Сила тока в цепи:
( )
= = e− − cos( + ) − sin( + ) =
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e− (− cos( + ) − sin( + )) = |
||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
0 |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
− |
|
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
sin( + ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
|
+ 2 ) |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
так как |
|
|
|
2 + 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то можно положить |
|
|
− |
|
|
= cos , |
|
|
|
|
|
= sin |
|||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||||
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
||||||||||||||||||||||
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
15/19
( |
) |
cos cos( + ) − sin sin( + )
исп. формулу cos cos − sin sin = cos( + )
= 0 e− cos( + + )
Так как |
cos = |
|
− |
< 0, sin = |
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|||||
√ 2 + 2 |
√ 2 + 2 |
|||||||
|
|
|
||||||
то /2 < < . То есть при наличии активного сопротивления сдвиг фаз между напряжением и током больше чем /2.
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
16/19
( |
) |
cos cos( + ) − sin sin( + )
исп. формулу cos cos − sin sin = cos( + )
= 0 e− cos( + + )
Так как |
cos = |
|
− |
< 0, sin = |
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|||||
√ 2 + 2 |
√ 2 + 2 |
|||||||
|
|
|
||||||
то /2 < < . То есть при наличии активного сопротивления сдвиг фаз между напряжением и током больше чем /2.
Электрические
колебания
Колебательный
контур
Свободные
незатухающие колебания в контуре
Свободные
затухающие
колебания
Уравнение и решение в общем виде при < 0
Сдвиг по фазе тока и напряжения
Величины,
характеризующие
затухание
Случай > 0
16/19