4.10.2. Потенциальная энергия мт

В случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию МТ в рассматриваемой точке силового поля.

Определение: Потенциальной энергией МТ –П в рассматриваемой точке В силового поля называют работу, которую совершают силы поля, действующие на МТ при перемещении ее из точки В в начальную точку В₀, т. е.

или (4.49)

На основании соотношений (4.46) и (4.49) имеем:

. (4.50)

Из соотношений (4.47) и (4.48) с учетом (4.49) соответственно получим:

dA = dU = –dП, = U – U₀= П₀ – П. (4.51)

Так как силовая функция определяется с точностью до произвольной постоянной, то можно за счет выбора этой произвольной постоянной всегда достигнуть того, чтобы в точке В₀(x₀,y₀,z₀) силовая функция обратилась в ноль, т. е.

,

и тогда получим:

П= –U. (4.52)

4.10.3. Примеры вычисления силовой функции и потенциальной энергии мт

• Однородное поле силы тяжести.

Если ось Oz направить вертикально вверх, то проекции силы тяжести на координатные оси будут равны:

Р_x = 0, Р_y = 0, P_z= – mg.

Вычисляя элементарную работу силы Р, получаем:

dA=dU=P_x dx + P_y dy + P_z dz= –mg dz=d(–mgz),

откуда, интегрируя, получим:

U = –mgz + С,

где С – произвольная постоянная интегрирования.

На основании соотношения (4.52) для потенциальной энергии находим:

П = mgz + С₁,

где С₁ – постоянная.

• Линейная сила упругости

Для линейной силы упругости имеем:

следовательно,

так как xdx+ydy+zdz=, а.

Силовая функция линейной силы упругости определяется по формуле ,

где r² = x² + y² + z², а С – постоянная интегрирования.

На основании соотношения (4.52) для потенциальной энергии находим:

,

где С₁ – постоянная.

4.10.4. Силовая функция и потенциальная энергия смт

Для СМТ, состоящей из n МТ, в потенциальном стационарном силовом поле силовая функция имеет вид:

U(х₁, y₁, z₁, х₂, y₂, z₂, ... x_n, y_n, z_n).

Проекции силы, действующей на -ю точку СМТ, на основании соотношения (4.46), можно представить в виде:

. (4.53)

Сумма элементарных работ всех сил, действующих на СМТ, определяется по формуле:

или

(4.54)

Таким образом, сумма элементарных работ сил, действующих на СМТ, потенциального, стационарного силового поля равна полному дифференциалу от силовой функции.

Если вычислить сумму работ сил, действующих на СМТ в этом поле при перемещении СМТ из начального положения (I), в котором имеется силовая функция U₀, в положение (II), в котором есть силовая функция U, то:

или

Используя соотношения (4.49) и (4.51), найдем формулы для потенциальной энергии СМТ в потенциальном силовом поле.

Определение: Потенциальной энергией СМТ – П в рассматриваемом положении называют сумму работ сил поля, действующих на СМТ, которую эти силы совершают при перемещении СМТ из рассматриваемого положения в начальное положение, т. е.

, (4.55)

где U – значение силовой функции в рассматриваемом положении, U₀ – значение силовой функции в начальном положении.

4.10.5. Закон сохранения механической энергии мт

Теорема об изменении кинетической энергии МТ (соотношение (1.44))имеет следующий вид:

Если МТ движется в стационарном потенциальном силовом поле, то:

А = П_О – П.

Следовательно,

где h—постоянная величина.

Обозначая через Е полную механическую энергию МТ,

состоящую из ее кинетической и потенциальной энергий, получаем:

. (4.56)

Закон сохранения механической энергии МТ: При движении МТ в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной, что является законом сохранения механической энергии МТ – соотношение (4.56).

Соотношение (4.56) является первым интегралом дифференциальных уравнений движения МТ.