4.8.2. Кинетическая энергия нмс в частных случаях движения

• Поступательное движение НМС.

В случае поступательного движения НМС все ее точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс НМС: . Соотношение (4.30) в случае поступательного движения НМС примет вид:

. (4.38)

• Вращательное движение НМС вокруг неподвижной оси z.

В случае вращательного движения НМС все ее МТ движутся со скоростями , где- кратчайшее расстояние от-й МТ до оси вращения. Соотношение (4.30) в случае вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси z примет вид:

. (4.39)

• Плоскопараллельное движение НМС.

В случае плоскопараллельного движения НМС в каждый момент времени движение НМС можно рассматривать как мгновенное вращательное движение относительно оси, перпендикулярной неподвижной (основной) плоскости и проходящей через мгновенный центр скоростей . Поэтому можно использовать соотношение (4.39)

, (4.40)

где – момент инерции НМС относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей.

Используем теорему Штейнера-Гюйгенса (3.22):

,

где J_С – момент инерции НМС относительно мгновенной оси, перпендикулярной к неподвижной плоскости движения и проходящей через центр масс С, а СР^v – расстояние между мгновенным центром скоростей и центром масс.

Подставив это выражение в соотношение (4.40), получим:

или

, (4.41)

где – скорость центра масс НМС.

4.8.3. Теорема Кенига

Теорема: Кинетическая энергия СМТ в общем случае движения равна сумме кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена вся масса СМТ, и кинетической энергии СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

Доказательство.

Введем подвижную систему отсчета с началом в центре масс С, движущуюся поступательно относительно основной инерциальной системы отсчета. Представим скорость -й МТ, входящей в СМТ, относительно основной системы отсчета в виде (Ч.1 Кинематика):

, где – скорость движения центра масс СМТ, а– скорость-й точки СМТ по отношению к подвижной системе отсчета.

Подставив это выражение в соотношение (4.30), получим:

(4.42)

где – масса всей системы,– кинетическая энергия СМТ при ее движении относительно подвижной системы отсчета, перемещающейся вместе с центром масс поступательно.

На основании соотношений (4.6) и (4.16) для суммы во втором слагаемом правой части выражения (4.42) можно записать:

, так как .

Из соотношения (4.42) имеем теорему Кенига:

. (4.43)

4.8.4. Работа произвольной системы сил, приложенной к смт

Пусть к свободной СМТ приложена произвольная система сил . Выбрав в качестве полюса произвольную точку О СМТ, на основании теоремы о скорости точки СМТ в общем случае движения (Ч.1 Кинематика) скорость движения-й МТ относительно неподвижной системы координат выразится формулой:

, (4.44)

где – скорость полюса,– угловая скорость вращения СМТ вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О.

Для удобства сначала найдем мощность силы :

.

Второе слагаемое по свойству смешанного произведения и с учетом формулы для момента силы относительно точки (Ч.2 Статика) может быть записано в виде:

.

Подставляя это равенство в предыдущую формулу и используя определение скалярного произведения и связь между моментом силы относительно точки и оси (Ч.1 Статика), получим:

где – момент-й силы относительно мгновенной оси вращения , проходящей через полюс О.

Перейдем к определению элементарной работы силы .

Учтя соотношения ,,, получим:

+.

Тогда элементарная работа всех сил, действующих на СМТ, равна:

+

+,

где - сумма работ всех сил, действующих на СМТ, - главный вектор, а- проекция главного момента на ось системы сил, действующих на СМТ.

Работа системы сил, действующих на СМТ, примет вид:

А=. (4.45)

В случае поступательного движения НМС соотношение (4.45) примет вид:

.

В случае вращательного движения НМС относительно неподвижной оси z соотношение (4.45) примет вид:

.

В случае, когда момент постоянен (), его работа выразится формулой:

.