Глава 4. Дифференциальные уравнения движения смт и общие теоремы динамики смт

4.1. Дифференциальные уравнения движения смт

Пусть СМТ состоит из n МТ с постоянными массами m₁,m₂,…,m_n. Напомним, что через обозначена равнодействующая внешних сил, а через – равнодействующая внутренних сил, действующих на -ю МТ (рис. 29).

Рис. 29

Тогда на основании второго (основного) закона динамики в форме (1.2) для каждой МТ можно записать:

=1, 2, ..., n. (4.1)

Система (4.1) является системой n дифференциальных уравнений движения СМТ в векторной форме.

Если спроектировать соотношения (4.1) на оси декартовой системы координат, то получим систему 3n дифференциальных уравнений движения СМТ в координатной форме:

=1, 2, ..., n (4.2)

Следует отметить, что решение задач динамики с использованием системы уравнений (4.2) затруднено тем, что ее уравнения, кроме 3n функций

содержат еще и внутренние силы. Поэтому решение задач динамики с помощью системы уравнений (4.2) может потребовать дополнительных соотношений. Кроме того, значительное количество МТ может привести к громоздкости системы (4.2).

4.2. Теорема об изменении количества движения смт

Второй основной закон динамики (1.1) для -й МТ, входящей в СМТ, с учетом классификации сил, действующих на нее, можно записать в форме:

=1, 2, ..., n. (4.3)

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим:

(4.4)

Используя формулу для главного вектора сил (Ч.2 Статика) и учтя свойство внутренних сил – соотношение (3.2), имеем:

, , (4.5)

где – главный вектор всех внешних сил, – главный вектор всех внутренних сил.

Введем понятие количества движения СМТ.

Определение: Количеством движения СМТ называется геометрическая сумма количеств движений МТ, входящих в СМТ:

. (4.6)

Подставляя выражение (4.5) и (4.6) в соотношение (4.4), получим теорему об изменении количества движения СМТ в дифференциальной форме:

(4.7)

Теорема: Производная по времени от количества движения СМТ равна главному вектору внешних сил, действующих на СМТ.

Проектируя соотношение (4.7) на оси декартовой системы координат, получим:

, , . (4.8)

Из формулы (4.8) следует, что производная по времени от проекции количества движения СМТ на какую-либо ось декартовой системы координат равна сумме проекций на эту же ось приложенных к СМТ внешних сил.

Умножим обе части соотношения (4.7) на dt:

.

Проинтегрировав это выражение, считая, что в начальный момент времени количество движения СМТ было равно , получим теорему об изменении количества движения СМТ в конечной форме:

. (4.9)

Здесь , – скорость движения -й МТ в начальный момент времени, а – импульс главного вектора внешних сил или сумма импульсов внешних сил, действующих на СМТ за промежуток времени t:

. (4.10)

Теорема: Изменение количества движения СМТ за конечный промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на СМТ, за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси декартовой системы координат эта теорема в конечной форме имеет вид:

,

, (4.11)

т.е изменение проекции количества движения СМТ за конечный промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на СМТ, за тот же промежуток времени.

Следствия:

• Если , то из соотношения (4.7) следует, что

.

Если главный вектор внешних сил, действующих на СМТ, равен нулю, то количество движения СМТ постоянно по величине и направлению и равняется количеству движения СМТ в начальный момент времени:

. (4.12)

• Если (для определенности выбрана ось х), то из первого соотношения (4.8) следует, что

Если проекция главного вектора внешних сил СМТ на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось является постоянной величиной и равняется проекции количества движения СМТ на эту ось в начальный момент времени.

. (4.13)

Соотношение (4.12) представляет собой закон сохранения количества движения СМТ.