Пример 2

2 Три тела массы соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки, находятся на трапеции массы (рис. 32)

Определить перемещение трапеции относительно пола, если тело массы опустится вниз на h. Трением скольжения и массами блоков и нити пренебречь.

В начальный момент времени трапеция и тела находятся в покое. Ось х горизонтальна, ось у проходит через положение центра масс трапеции в начальный момент времени.

МС состоит из: АТТ (усеченной пирамиды) и трех МТ.

Рис. 32

3 С04 ППВ

3

.

4

.

Здесь – абсцисса центра масс МС после того, как МТ массы опустится на h. Абсциссы трех МТ для указанного момента времени записываются с учетом того, что эти МТ участвуют в сложном движении (переносное перемещение вместе с трапецией на s и относительное перемещение этих МТ относительно трапеции).

- абсцисса центра масс трапеции, а – координа- ты МТ в начальный момент времени.

5 2-я задача динамики – определить s (используются проекции на ось x).

,

6б

7б

9 Ответ:

4.6. Теорема об изменении кинетического момента смт

Запишем теорему об изменении момента количества движения МТ (1.34) для -й точки СМТ, учтя, что на нее действуют – равнодействующая всех внешних сил и – равнодействующая всех внутренних сил:

. (=1,2,...,n)

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим:

(4.21)

Используя формулу для главного момента системы сил (Ч.2 Статика) и учтя свойство внутренних сил – соотношение (3.3), имеем:

, , (4.22)

где - главный момент всех внешних сил, а - главный момент всех внутренних сил относительно какого-либо центра.

Введем понятие кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра О.

Определение: Кинетическим моментом или моментом количества движения СМТ называется геометрическая сумма моментов количества движения МТ, входящих в СМТ, относительно того же центра:

. (4.23)

Подставив (4.22) и (4.23) в (4.21), получим теорему об изменении кинетического момента СМТ в следующем виде:

. (4.24)

Теорема: Производная по времени от кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно того же центра.

Спроектировав соотношения (4.24) на оси декартовой системы координат с началом в центре О и учтя связь между моментами силы относительно точки и оси, получим:

(4.25)

Отсюда следует, что производная по времени от проекции кинетического момента СМТ на какую-либо ось равна проекции главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на эту ось или сумме моментов всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно этой оси.

Следствия:

• Если , то из соотношения (4.24) следует, что

.

Если главный момент внешних сил, действующих на СМТ, относительно какого-либо центра равен нулю, то кинетический момент СМТ относительно того же центра постоянен по величине и направлению и равен кинетическому моменту СМТ относительно того же центра в начальный момент времени:

. (4.26)

Соотношение (4.26) выражает закон сохранения кинетического момента для СМТ.

• Если (для определенности выбрана ось х), то из первого соотношения (4.25) следует, что

.

Если проекция главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на какую-либо ось (сумма моментов всех внешних сил относительно какой-либо оси) равна нулю, то проекция кинетического момента на эту ось является постоянной величиной и равняется проекции кинетического момента на эту ось в начальный момент времени

. (4.27)