- •Глава 4. Дифференциальные уравнения движения смт и общие теоремы динамики смт
- •4.1. Дифференциальные уравнения движения смт
- •4.2. Теорема об изменении количества движения смт
- •4.3. Алгоритм решения задач с помощью теоремы об изменении количества движения смт – схема алгоритма д43 кдс с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Примечание
- •Пример 1
- •4.4. Теорема о движении центра масс смт
- •4.5. Алгоритм решения задач с помощью теоремы о движении центра масс смт – схема алгоритма д45 цмс с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Примечание
- •Пример 1
- •Пример 2
- •4.6. Теорема об изменении кинетического момента смт
- •Найдем кинетический момент нмс, вращающейся относительно неподвижной оси Оz (рис. 33)
- •4.7. Алгоритм решения задач с помощью теоремы об изменении кинетического момента смт – схема алгоритма д47 кмс с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Примечание
- •Осевые моменты инерции однородных пластинок и стержней массы m
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •4.8. Теорема об изменении кинетической энергии смт
- •4.8.1. Три формы теоремы
- •4.8.2. Кинетическая энергия нмс в частных случаях движения
- •4.8.3. Теорема Кенига
- •4.8.4. Работа произвольной системы сил, приложенной к смт
- •Пример 1
- •4.10. Потенциальное силовое поле
- •4.10.1. Потенциальное силовое поле и силовая функция мт
- •4.10.2. Потенциальная энергия мт
- •4.10.3. Примеры вычисления силовой функции и потенциальной энергии мт
- •Силовая функция линейной силы упругости определяется по формуле
- •4.10.4. Силовая функция и потенциальная энергия смт
- •4.10.5. Закон сохранения механической энергии мт
- •4.10.6. Закон сохранения механической энергии смт
4.5. Алгоритм решения задач с помощью теоремы о движении центра масс смт – схема алгоритма д45 цмс с комментариями и примерами
Комментарии
К.2. Рассматриваемый объект принимается за МС, указывается система отсчета, в которой исследуется ее движение. Выделяются и нумеруются МТ и НМС, входящие в МС. На чертеже изображается силовая схема, т.е. рисуются все внешние силы и моменты, действующие на МС, в том числе внешние пассивные силы и моменты – реакции связи на основании принципа освобождаемости от связей (аксиома 5 статики). Формулируются начальные условия.
К.3, 4. Находятся проекции главного вектора внешних сил и радиуса-вектора центра масс только на те направления (оси), вдоль которых необходимо определить силы (1-я задача динамики) и перемещения или кинематические параметры (2-я задача динамики).
Координаты центра масс МС вычисляются для текущего или заданного момента времени через заданные размеры и параметры движения. Для определения координат центра масс может быть использована схема алгоритма С08 ОЦТ (Ч.2 Статика), а в случае сложного движения МТ, входящей в МС, алгоритм К07 СДТ (Ч.1 Кинематика).
К.5.б. Для случая и ось x выбрана для определенности. В реальной задаче такой осью может быть любая другая.
К.8.в. При интегрировании используются либо метод разделения переменных, либо теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Постоянные интегрирования находятся с помощью начальных условий.
Примечание
Теорема о движении центра масс МС чаще всего применяется в случаях, когда НМС совершает поступательное движение, а МТ - любое движение, для определения перемещений того или иного объекта и для определения пассивных сил – реакций связи, вызванных этими перемещениями.
Пример 1
2 Электрический мотор массы установлен без крепления на негладком горизонтальном фундаменте (коэффициент трения скольжения f). На валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной 2 и массы . На другой конец стержня насажен точечный груз массы (рис. 31). Угловая скорость вала постоянна и равна . Определить суммарную силу давления на фундамент, горизонтальное перемещение мотора и условия, при которых мотор будет подпрыгивать, не будучи прикреплен болтами.
Решение задачи по алгоритму визуализировано.
Рис. 31
В начальный момент мотор находится в покое и стержень горизонтален. Ось х горизонтальна, ось у проходит через вал в начальный момент времени.
МС состоит из: двух АТТ (мотор и стержень) и МТ (груз).
3 С04 ППВ
3
Обозначим координаты центра масс мотора через х1, у1, центра масс стержня х2, у2, и координаты груза х3, у3 в момент времени t. Координаты центра масс стержня и груза записы-ваются с учетом того, что они участвуют в сложном движении (переносном движении вместе с мотором и относительном вращательном движении относительно мотора).
4
здесь – перемещение мотора (переменная величина),
здесь
5 1-я задача динамики – определить силу реакции фундамента
(используется проекция на ось у).
6 а К01 КМТ
8б
7а
8а
Ответ:
Мотор будет подпрыгивать над фундаментом, если ,
т.е. при , .
9а 2-я задача динамики – определить горизонтальное переме-
щение мотора (используется проекция на ось х).
5 .
6в
7в
.
Подставляется из 8а и определяется :
8в Дважды интегрируется предыдущее уравнение
Постоянные интегрирования определяются с помощью начальных условий:
при t = 0 x = 0, следовательно,
при t = 0 , следовательно,
9в Ответ: .