4.9. Алгоритм решения задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии смт – схема алгоритма д49 кэс с комментариями и примерами

Комментарии

К.2. Рассматриваемый объект принимается за МC. Выделяются и нумеруются МТ и НМС, входящие в МC. На чертеже изображается силовая схема, т.е. рисуются все внешние силы и моменты, действующие на МC, в том числе внешние пассивные силы – силы реакций связей и реактивные моменты на основании принципа освобождаемости от связей (аксиома 5 статики). Если МС не является НМС, то в этом случае в силовую схему должны быть включены внутренние силы.

К.5,9. Все перемещения, необходимые для подсчета работы, и все скорости (линейные, угловые), необходимые для подсчета кинетической энергии, выражаются либо через те, которые заданы, либо через те, которые необходимо определить (в зависимости от числа степеней свободы МС).

Связь между перемещениями и между скоростями в зависимости от вида движений устанавливается с помощью соотношений, приведенных в Ч.1 Кинематика.

К.6. В случае, если МС является НМС, работа внутренних сил – Аⁱ будет равна нулю.

К.8а,9а. При подсчете кинетической энергии МТ, находящейся в сложном движении, необходимо помнить, что на основании теоремы о сложении скоростей в сложном движении (Ч.1 Кинематика).

К.8б,9б. Аналогичной формулой выражается кинетическая энер-гия МС, скорости всех точек которой равны (лента, трос, цепь).

К.9в,г.Моменты инерции определяются с помощью формул, приведенных в таблице 2.

К.9д. Первое соотношение представляет собой общую формулу кинетической энергии МС. Второе соотношение является теоремой Кенига (4.43), причем - это кинетическая энергия МС в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом отсчета в центре масс.

К.10.Кинетическая энергия считается для начального и текущего или заданного моментов времени.

К.11. Для решения задач, связанных с ускорениями и мощностями, могут быть использованы две дифференциальные формы этой теоремы: ,.

В этом случае мощности внешних – N^e и внутренних – Nⁱ сил определяются по формулам, аналогичным формулам, приведенным в процессе 5, только вместо перемещений записываются скорости (линейные, угловые).

Если МС является НМС, работы и мощности внутренних сил равны нулю и теорема об изменении кинетической энергии примет следующий вид (три формы):

, , .

Пример 1

2К грузу 1 массы m₁ и цилиндрическому катку 3 радиуса  массы m₃ прикреплена нить, переброшенная через блок 2 массы m₂ (рис. 38).

Рис. 38

Определить скорость груза 1 в зависимости от пройденного им вниз по наклонной плоскости пути s и условие того, чтобы груз опускался, если в начальный момент система находилась в покое. Блок 2 и каток 3 считать однородными круглыми цилиндрами, массой нити пренебречь. Коэффициент трения скольжения груза – f_c , а коэффициент трения качения катка – f_k.

МС состоит из одной МТ – груза 1 и двух АТТ – блока 2 и катка 3.

3µ=8.

j=1

4Работа силы тяжести .

5 .

j=2

4Работа силы тяжести F₂ = P₂.

5 .

j=3

4Работа силы тяжести F₃ = P₃.

5. , здесь .

j=4

4Работа силы трения скольжения F₄ = F_тр.

5 , здесь .

j = 5

4Работа момента трения качения

5 ,

Здесь ,

j = 6,7,8

4Работа нормальных сил реакции.

5

6 .

7. n=3.  = 1

8аДвижение МТ – груза 1. 9а

 = 2

8вВращательное движение АТТ – блока 2.

9в здесь

 = 3

8г Плоскопараллельное движение АТТ – катка 3 .

9г

здесь ,,

8. 

9. 

12 Ответ:

Условие того, чтобы груз 1 опускался: V₁ > 0, т. е.

.

4.10. Потенциальное силовое поле

4.10.1. Потенциальное силовое поле

и силовая функция МТ

Среди сил, действующих на МТ, встречаются силы, зависящие только от положения этой МТ и времени.

Определение: Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на МТ действует определенная сила, зависящая от координат МТ и времени.

Определение: Силовое поле считается стационарным, если действующие силы не зависят от времени. Если же силы зависят от времени, то силовое поле называется нестационарным.

Предположим, что существует такая функция координат и времени U(х, у, z, t), частные производные которой по координатам равны проекции силы силового поля на соответствующие координатные оси, т. е.

. (4.46)

Определение: Функция U(х, у, z, t) называется силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле называется потенциальным или консервативным, сила же потенциального силового поля называется потенциальной или консервативной.

Примерами консервативных сил являются сила тяжести, сила упругости и сила всемирного тяготения.

При наличии силовой функции выражение для элементарной работы силы потенциального стационарного силового поля примет вид:

т.е.

dA = dU. (4.47)

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном стационарном силовом поле равна полному дифференциалу силовой функции.

Полная работа силы на участке от точки В₀ до точки В можно выразить следующим образом:

т. е.

=U – U₀, (4.48)

где .

Следовательно, полная работа силы на каком-либо перемещении МТ равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой оно совершается, если силовая функция является однозначной.

Из (4.48) следует, что работа силы в потенциальном стационарном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю, если значение силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаково, т. е. силовая функция является однозначной.