Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Глава 4д.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
1.61 Mб
Скачать

Осевые моменты инерции однородных пластинок и стержней массы m

Форма пластинки

Jx

Jy

Jz

0

Теорема Штейнера-Гюйгенса

В случае, если НМС имеет сложную конфигурацию, то момент инерции относительно какой-либо оси определяется по формуле: , где – радиус инерции, который определяется экспериментально.

Пример 1

  1. Натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего в движение шкив радиуса , массы m, равномерно распределенной по ободу, соответственно N1 и N2 (N1 > N2). Чему должен быть равен момент сопротивления Мс для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением ? МС состоит из одного АТТ – шкива (рис. 34).

Рис. 34

  1. С04 ППВ

4.

  1. n = 1

  2. Вращательное движение АТТ

  3. ,7 , здесь, тогда

  1. 1 – я задача динамики: определить Мс.

  2. так как , то

11 Ответ:

Пример 2

  1. Однородный диск массы m1, радиуса  вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью 0. В точке D0 находится МТ массы m2 (рис. 35). В некоторый момент времени МТ начинает двигаться по внешней окружности диска с постоянной относительной скоростью u. Определить угловую скорость диска  в тот момент, когда МТ достигает положения D (DE || Оx). МС состоит из двух частей: диска – АТТ и МТ.

Рис. 35

  1. С04 ППВ

4

  1. n = 2.

Считается кинетический момент МС в момент времени, когда МТ находится в положении D.

 = 1

  1. Вращательное движение АТТ.

  2. По теореме Штейнера–Гюйгенса (формула (3.22))

Тогда

 = 2

5 МТ

6

Здесь .

Тогда

  1. 2-я задача динамики,

  2. Ответ:

Пример 3

  1. Два груза массы m1 и m2 подвешены на двух гибких нерастяжимых нитях, которые навернуты, как указано на рис. 36, на блок массы m3 (радиусы 1 и 2 даны).

Рис. 36

Радиус инерции блока u. Грузы движутся из состояния покоя под влиянием силы тяжести. Учитывая момент сопротивления вращению блока – определить угловую скорость блока как функцию времени и условие того, что груз массы m1 будет опускаться. Массами нитей пренебречь. МС состоит из двух МТ и блока – АТТ.

  1. С04 ППВ

4

Ось z проходит через точку С перпендикулярно плоскости блока.

  1. n = 3.

 = 1

  1. МТ 6 где = 2

5 МТ 6 где

 = 3

  1. Вращательное движение АТТ

  2. здесь .

  3. 2 – я задача динамики – определить  .  0.

  4. Полученное уравнение интегрируется методом разделения переменных:

Очевидно, что груз массы m1 будет опускаться при  > 0, т.е. > 0.

4.8. Теорема об изменении кинетической энергии смт

4.8.1. Три формы теоремы

Используя теорему об изменении кинетической энергии МТ (соотношения (1.40), (1.42), (1.43)), для -й точки СМТ запишем:

(=1,…,n),

(=1,…,n),

(=1,…,n).

Просуммировав эти соотношения и учитывая, что производная от суммы равна сумме производных, получим:

, (4.29)

.

Введем понятие кинетической энергии СМТ.

Определение: Кинетической энергией СМТ называется величина, равная сумме кинетических энергий входящих в нее МТ:

, (4.30)

аналогично

. (4.31)

Здесь Т и Т0 – соответственно значения кинетической энергии СМТ в текущий и начальный моменты времени.

С учетом формулы (1.42) в соотношениях (4.29):

,

соответственно суммы элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ;

,

соответственно суммы их мощностей;

,

соответственно суммы работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

С учетом принятых обозначений, из соотношений (4.29) получим три формы (две дифференциальных и одну конечную) теоремы об изменении кинетической энергии СМТ.

Теорема: Дифференциал кинетической энергии СМТ равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

. (4.32)

Теорема: Производная от кинетической энергии СМТ равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

. (4.33)

Теорема: Изменение кинетической энергии СМТ на ее конечном перемещении из одного положения в другое равно сумме работ приложенных внешних и внутренних сил, на том же перемещении.

. (4.34)

Рассмотрим сумму элементарных работ всех внутренних сил, действующих на СМТ.

Выделим из СМТ две произвольные МТ В и B, положение которых относительно неподвижного центра О определяется радиус-векторами . Обозначим черези() силы взаимодействия между этими МТ и определим сумму элементарных работ этих сил (рис. 37):

Рис. 37

Из полученного соотношения следует, что элементарная работа внутренних сил, с которыми две точки СМТ действуют друг на друга, будет равна нулю только в случае , т. е. когда, что имеет место в случае НМС.

Таким образом, сумма элементарных работ всех внутренних сил НМС всегда равна нулю. Аналогичным образом можно доказать, что суммы мощностей всех внутренних сил НМС и их работ будут равны нулю. Учитывая это, на основании соотношений (4.32) – (4.34) для НМС можно записать:

, (4.35)

, (4.36)

. (4.37)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]