4.5. Алгоритм решения задач с помощью теоремы о движении центра масс смт – схема алгоритма д45 цмс с комментариями и примерами

Комментарии

К.2. Рассматриваемый объект принимается за МС, указывается система отсчета, в которой исследуется ее движение. Выделяются и нумеруются МТ и НМС, входящие в МС. На чертеже изображается силовая схема, т.е. рисуются все внешние силы и моменты, действующие на МС, в том числе внешние пассивные ­силы и моменты – реакции связи на основании принципа освобождаемости от связей (аксиома 5 статики). Формулируются начальные условия.

К.3, 4. Находятся проекции главного вектора внешних сил и радиуса-вектора центра масс только на те направления (оси), вдоль которых необходимо определить силы (1-я задача динамики) и перемещения или кинематические параметры (2-я задача динамики).

Координаты центра масс МС вычисляются для текущего или заданного момента времени через заданные размеры и параметры движения. Для определения координат центра масс может быть использована схема алгоритма С08 ОЦТ (Ч.2 Статика), а в случае сложного движения МТ, входящей в МС, алгоритм К07 СДТ (Ч.1 Кинематика).

К.5.б. Для случаяиось x выбрана для определенности. В реальной задаче такой осью может быть любая другая.

К.8.в. При интегрировании используются либо метод разделения переменных, либо теория линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Постоянные интегрирования находятся с помощью начальных условий.

Примечание

Теорема о движении центра масс МС чаще всего применяется в случаях, когда НМС совершает поступательное движение, а МТ - любое движение, для определения перемещений того или иного объекта и для определения пассивных сил – реакций связи, вызванных этими перемещениями.

Пример 1

2Электрический мотор массыустановлен без крепления на негладком горизонтальном фундаменте (коэффициент трения скольжения f). На валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной 2и массы. На другой конец стержня насажен точечный груз массы(рис. 31). Угловая скорость вала постоянна и равна. Определить суммарную силу давленияна фундамент, горизонтальное перемещение мотора и условия, при которых мотор будет подпрыгивать, не будучи прикреплен болтами.

Рис. 31

В начальный момент мотор находится в покое и стержень горизонтален. Ось х горизонтальна, ось у проходит через вал в начальный момент времени.

МС состоит из: двух АТТ (мотор и стержень) и МТ (груз).

3С04 ППВ

3

Обозначим координаты центра масс мотора через х₁, у₁, центра масс стержня х₂, у₂, и координаты груза х₃, у₃в момент времениt. Координаты центра масс стержня и груза записы-ваются с учетом того, что они участвуют в сложном движении (переносном движении вместе с мотором и относительном вращательном движении относительно мотора).

4

здесь ­– перемещение мотора (переменная величина),

здесь

51-я задача динамики – определить силу реакции фундамента(используется проекция на ось у).

6а К01 КМТ

8б

7а

8а

Ответ:

Мотор будет подпрыгивать над фундаментом, если ,

т.е. при ,.

9а2-я задача динамики – определить горизонтальное перемещениемотора (используется проекция на ось х).

5.

6в

7в

.

Подставляется из8аи определяется:

8вДважды интегрируется предыдущее уравнение

Постоянные интегрирования определяются с помощью начальных условий:

при t = 0 x = 0, следовательно,

при t = 0 , следовательно,

9вОтвет:.

Пример 2

2Три тела массысоединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки, находятся на трапеции массы(рис. 32)

Определить перемещение трапеции относительно пола, если тело массы опустится вниз на h. Трением скольжения и массами блоков и нити пренебречь.

В начальный момент времени трапеция и тела находятся в покое. Ось х горизонтальна, ось у проходит через положение центра масс трапеции в начальный момент времени.

МС состоит из: АТТ (усеченной пирамиды) и трех МТ.

Рис. 32

3 С04 ППВ

3

.

4

.

Здесь – абсцисса центра масс МС после того, как МТ массыопустится на h. Абсциссы трех МТ для указанного момента времени записываются с учетом того, что эти МТ участвуют в сложном движении (переносное перемещение вместе с трапецией наsи относительное перемещение этих МТ относительно трапеции).

- абсцисса центра масс трапеции, а– координаты МТ в начальный момент времени.

52-я задача динамики – определитьs(используются проекции на ось x).

,

6б

7б

9Ответ:

4.6. Теорема об изменении

кинетического момента СМТ

Запишем теорему об изменении момента количества движения МТ (1.34) для -й точки СМТ, учтя, что на нее действуют – равнодействующая всех внешних сил и – равнодействующая всех внутренних сил:

. (=1,2,...,n)

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим:

(4.21)

Используя формулу для главного момента системы сил (Ч.2 Статика) и учтя свойство внутренних сил – соотношение (3.3), имеем:

,, (4.22)

где - главный момент всех внешних сил, а- главный момент всех внутренних сил относительно какого-либо центра.

Введем понятие кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра О.

Определение: Кинетическим моментом или моментом количества движения СМТ называется геометрическая сумма моментов количества движения МТ, входящих в СМТ, относительно того же центра:

. (4.23)

Подставив (4.22) и (4.23) в (4.21), получим теорему об изменении кинетического момента СМТ в следующем виде:

. (4.24)

Теорема: Производная по времени от кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно того же центра.

Спроектировав соотношения (4.24) на оси декартовой системы координат с началом в центре О и учтя связь между моментами силы относительно точки и оси, получим:

(4.25)

Отсюда следует, что производная по времени от проекции кинетического момента СМТ на какую-либо ось равна проекции главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на эту ось или сумме моментов всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно этой оси.

Следствия:

• Если , то из соотношения (4.24) следует, что

.

Если главный момент внешних сил, действующих на СМТ, относительно какого-либо центра равен нулю, то кинетический момент СМТ относительно того же центра постоянен по величине и направлению и равен кинетическому моменту СМТ относительно того же центра в начальный момент времени:

. (4.26)

Соотношение (4.26) выражает закон сохранения кинетического момента для СМТ.

• Если (для определенности выбрана ось х), то из первого соотношения (4.25) следует, что

.

Если проекция главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на какую-либо ось (сумма моментов всех внешних сил относительно какой-либо оси) равна нулю, то проекция кинетического момента на эту ось является постоянной величиной и равняется проекции кинетического момента на эту ось в начальный момент времени

. (4.27)