Осевые моменты инерции однородных пластинок и стержней массы m

Форма пластинки	Jx	Jy	Jz
	0
Теорема Штейнера-Гюйгенса

В случае, если НМС имеет сложную конфигурацию, то момент инерции относительно какой-либо оси определяется по формуле: , где – радиус инерции, который определяется экспериментально.

Пример 1

2. Натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего в движение шкив радиуса , массы m, равномерно распределенной по ободу, соответственно N₁ и N₂ (N₁ > N₂). Чему должен быть равен момент сопротивления М_с для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением ? МС состоит из одного АТТ – шкива (рис. 34).

Рис. 34

2. С04 ППВ

4.

2. n = 1

3. Вращательное движение АТТ

4. ,7 , здесь, тогда

8. 1 – я задача динамики: определить М_с.

9. так как , то

11 Ответ:

Пример 2

2. Однородный диск массы m₁, радиуса  вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью ₀. В точке D₀ находится МТ массы m₂ (рис. 35). В некоторый момент времени МТ начинает двигаться по внешней окружности диска с постоянной относительной скоростью u. Определить угловую скорость диска  в тот момент, когда МТ достигает положения D (DE || Оx). МС состоит из двух частей: диска – АТТ и МТ.

Рис. 35

2. С04 ППВ

4

2. n = 2.

Считается кинетический момент МС в момент времени, когда МТ находится в положении D.

 = 1

2. Вращательное движение АТТ.

3. По теореме Штейнера–Гюйгенса (формула (3.22))

Тогда

 = 2

5 МТ

6

Здесь .

Тогда

7. 

8. 2-я задача динамики,

9. 

10. 

11. Ответ:

Пример 3

2. Два груза массы m₁ и m₂ подвешены на двух гибких нерастяжимых нитях, которые навернуты, как указано на рис. 36, на блок массы m₃ (радиусы ₁ и ₂ даны).

Рис. 36

Радиус инерции блока _u. Грузы движутся из состояния покоя под влиянием силы тяжести. Учитывая момент сопротивления вращению блока – определить угловую скорость блока как функцию времени и условие того, что груз массы m₁ будет опускаться. Массами нитей пренебречь. МС состоит из двух МТ и блока – АТТ.

2. С04 ППВ

4

Ось z проходит через точку С перпендикулярно плоскости блока.

2. n = 3.

 = 1

2. МТ 6 где = 2

5 МТ 6 где

 = 3

5. Вращательное движение АТТ

6. здесь .

7. 

8. 2 – я задача динамики – определить  .  0.

9. 

10. Полученное уравнение интегрируется методом разделения переменных:

5. 

Очевидно, что груз массы m₁ будет опускаться при  > 0, т.е. > 0.

4.8. Теорема об изменении кинетической энергии смт

4.8.1. Три формы теоремы

Используя теорему об изменении кинетической энергии МТ (соотношения (1.40), (1.42), (1.43)), для -й точки СМТ запишем:

(=1,…,n),

(=1,…,n),

(=1,…,n).

Просуммировав эти соотношения и учитывая, что производная от суммы равна сумме производных, получим:

, (4.29)

.

Введем понятие кинетической энергии СМТ.

Определение: Кинетической энергией СМТ называется величина, равная сумме кинетических энергий входящих в нее МТ:

, (4.30)

аналогично

. (4.31)

Здесь Т и Т₀ – соответственно значения кинетической энергии СМТ в текущий и начальный моменты времени.

С учетом формулы (1.42) в соотношениях (4.29):

,

соответственно суммы элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ;

,

соответственно суммы их мощностей;

,

соответственно суммы работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

С учетом принятых обозначений, из соотношений (4.29) получим три формы (две дифференциальных и одну конечную) теоремы об изменении кинетической энергии СМТ.

Теорема: Дифференциал кинетической энергии СМТ равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

. (4.32)

Теорема: Производная от кинетической энергии СМТ равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на СМТ.

. (4.33)

Теорема: Изменение кинетической энергии СМТ на ее конечном перемещении из одного положения в другое равно сумме работ приложенных внешних и внутренних сил, на том же перемещении.

. (4.34)

Рассмотрим сумму элементарных работ всех внутренних сил, действующих на СМТ.

Выделим из СМТ две произвольные МТ В_ и B_, положение которых относительно неподвижного центра О определяется радиус-векторами . Обозначим черези() силы взаимодействия между этими МТ и определим сумму элементарных работ этих сил (рис. 37):

Рис. 37

Из полученного соотношения следует, что элементарная работа внутренних сил, с которыми две точки СМТ действуют друг на друга, будет равна нулю только в случае , т. е. когда, что имеет место в случае НМС.

Таким образом, сумма элементарных работ всех внутренних сил НМС всегда равна нулю. Аналогичным образом можно доказать, что суммы мощностей всех внутренних сил НМС и их работ будут равны нулю. Учитывая это, на основании соотношений (4.32) – (4.34) для НМС можно записать:

, (4.35)

, (4.36)

. (4.37)